Рассмотрим наборы исходных чисел, взятых во всех возможных количествах: по одному, по два, по три и т. д. Таких наборов  2¹⁹⁸⁶ − 1.  Числа в каждом таком наборе перемножим и полученное произведение представим в виде произведения наибольшего полного квадрата и нескольких простых сомножителей (например,  2¹⁶·3¹⁵·5¹³·17⁹ = (2⁸·3⁷·5⁶17⁴)²·3·5·17,  а  2¹⁶·13¹⁰ = (2⁸·13⁵)²).  Сопоставим каждому набору исходных чисел тот набор простых чисел, который получается после выделения наибольшего точного квадрата из их произведения (в рассмотренных примерах первому числу сопоставляется набор 3, 5, 17, а второму – пустой набор). Число различных наборов из 1985 простых делителей (включая и пустой набор) равно 2¹⁹⁸⁵, что меньше количества  2¹⁹⁸⁶ − 1  наборов из исходных чисел. Поэтому каким-то двум наборам A и В из исходных чисел отвечает один и тот же набор  p₁, ..., p_k простых делителей, то есть  A = a²p₁p₂...p_k,  B = b²p₁...p_k.  Следовательно, произведение AВ есть точный квадрат. С другой стороны, AВ равно произведению чисел в наборе A и чисел в наборе В. Выбросив из наборов A и В их общую часть (произведение выбрасываемых чисел есть точный квадрат), получим, что произведение остальных чисел является точным квадратом.

Ответ задачи отсутствует