Олимпиадные задачи из источника «1986 год» - сложность 3 с решениями
Биссектриса угла<i>A</i>треугольника<i>ABC</i>продолжена до пересечения в<i>D</i>с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что<i>AD</i> > 1/2 (<i>AB</i> + <i>AC</i>).
На листе бумаги отмечены точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник<i>ABCD</i>квадратом?
Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.
Решите систему неравенств
|<i>x</i>| < |<i>y – z + t</i>|,
|<i>y</i>| < |<i>x – z + t</i>|,
|<i>z</i>| < |<i>x – y + t</i>|,
|<i>t</i>| < |<i>x – y + z</i>|.
На листе бумаги отмечены точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник<i>ABCD</i>прямоугольником?
Докажите, что система неравенств
|<i>x</i>| > |<i>y – z + t</i>|,
|<i>y</i>| > |<i>x – z + t</i>|,
|<i>z</i>| > |<i>x – y + t</i>|,
|<i>t</i>| > |<i>x – y + z</i>|
не имеет решений.
Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.
Докажите, что если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/79492/problem_79492_img_2.gif"> при <i>n</i> = 2, ..., 10, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/79492/problem_79492_img_3.gif">
Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).
Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.