На клетчатой плоскости со стороной клетки 1 выберем самую северную горизонтальную прямуюy=k, пересекающую фиксированную окружность радиуса 100 с центромO(прямаяy=k+ 1 окружности не пересекает). Если все узлы этой прямой лежат вне окружности, то легко подсчитать, что ближайший к окружности узел находится от неё на расстоянии, меньшем${\frac{1}{14}}$, поэтому она пересекает нарисованный круг радиуса${\frac{1}{14}}$с центром в этом узле (для доказательства достаточно рассмотреть треугольникAOO', гдеO'– проекция точкиOна прямуюy=k).

Считаем поэтому в дальнейшем, что на прямойy=kнекоторые узлы лежат внутри окружности. Выберем из них узел В, лежащий ближе всего к окружности. Через A обозначим ближайший к нему внешний узел на прямой y = k, т. е. AB = 1. Предположим, что окружность не пересекает нарисованных кругов радиуса ${\frac{1}{14}}$ с центрами A и B. Имеем тогда: OA > 100 + ${\frac{1}{14}}$, 99 < OB < 100 − ${\frac{1}{14}}$, откуда OA − OB > ${\frac{1}{7}}$,

ЕслиO'— проекция центраOна прямуюy=kиO'B=x, тоO'A=x+ 1, и (x+ 1)²−x²=OA²−OB²>${\frac{199}{7}}$, откудаO'B=x>${\frac{96}{7}}$. А тогдаоткудаOO'< 99. Отсюда вытекает, что расстояние от центраOдо прямойy=k+ 1, равноеOO'+ 1, меньше 99 + 1 = 100, т. е. наша окружность радиуса 100 пересекает также и прямуюy=k+ 1. Это противоречит сделанному вначале предположению и доказывает утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует