Олимпиадные задачи из источника «1983 год» для 8 класса

За круглым столом сидят 13 богатырей из <i>k</i> городов, где  1 < <i>k</i> < 13.  Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже <i>k</i>. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.

Доказать, что  4^<i>m</i> − 4^<i>n</i>  делится на 3^<i>k</i>+1 тогда и только тогда, когда  <i>m − n</i>  делится на 3^<i>k</i>.

Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.

Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).

Доказать, что  1¹⁹⁸³ + 2¹⁹⁸³ + ... + 1983¹⁹⁸³  делится на  1 + ... + 1983.

В вершинах правильного 1983-угольника расставлены числа 1, 2, ..., 1983. Любая его ось симметрии делит числа, не лежащие на ней, на два множества. Назовём расстановку "хорошей" относительно данной оси симметрии, если каждое число одного множества больше симметричного ему числа. Существует ли расстановка, являющаяся "хорошей" относительно <i>любой</i> оси симметрии?

Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?

Существует ли пятиугольник со сторонами 3, 4, 9, 11 и 13 см, в который можно вписать окружность?

Найти наименьшее натуральное число, начинающееся с цифры 4 и уменьшающееся в четыре раза от перестановки этой цифры в конец числа.

Белая плоскость произвольным образом забрызгана чёрной тушью. Доказать, что для любого положительного<i>l</i>существует отрезок длины<i>l</i>, у которого оба конца одного цвета.

Найти все пары целых чисел  (<i>x, y</i>),  удовлетворяющих уравнению  <i>x</i>² = <i>y</i>² + 2<i>y</i> + 13.

Dписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно. Известно, что  <i>AA</i>₁ = <i>BB</i>₁ = <i>CC</i>₁.  Докажите, что треугольник <i>ABC</i> правильный.