Задача
На сторонах треугольникаABCвне его построены правильные треугольникиABC1,BCA1иCAB1. Доказать, что$\overrightarrow{AA_1}$+$\overrightarrow{BB_1}$+$\overrightarrow{CC_1}$=$\overrightarrow{0}$.
Решение
Заметим, что$\overrightarrow{AA_1}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CA_1}$,$\overrightarrow{BB_1}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AB_1}$,$\overrightarrow{CC_1}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BC_1}$, (таким образом, стороны треугольникаABCориентированы против часовой стрелки). Сложив эти равенства, получим:
$\displaystyle \overrightarrow{AA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_1}$ = ($\displaystyle \overrightarrow{AC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BA}$) + ($\displaystyle \overrightarrow{AB_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BC_1}$).
Сумма векторов в первой скобке равна 0, а каждый вектор во
второй скобке получается из соответствующего вектора первой
скобки поворотом его на 60oпо часовой стрелке; отсюда следует, что и вторая сумма равна 0.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет