Пусть для определённости  m > n.  Число  4^m − 4ⁿ = 4ⁿ(4^m–n − 1)  делится на 3^k+1 тогда и только тогда, когда  4^m–n − 1  делится на 3^k+1. Докажем индукцией по k, что наименьшее натуральное число a, для которого  4^a − 1  делится на 3^k+1, равно 3^k; при этом  4^a − 1  не делится на 3^k+2.

  База  (k = 1)  проверяется непосредственно.

  Шаг индукции. Предположим, что   4^b − 1  делится на 3^k+2. Тогда, в частности,  4^b − 1  делится на 3^k+1. Представим число b в виде  b = 3^kc + r,  где

0 ≤ r < 3^k.  Тогда  4^b ≡ 4^r (mod 3^k+1),  поэтому  r = 0.  Таким образом,  4^b − 1 = 4^3kc − 1 = (4^3k − 1)(4^3k(c–1) + 4^3k(c–2) + ... + 1).

  По предположению индукции число  4^3k – 1  делится на 3^k+1 и не делится на 3^k+2. Поэтому  4^3k + 1  не делится на 3. Ясно, что  4^3k·2 + 4^3k + 1  делится на 3 и не делится на 9 (при делении на 9 это число даёт остаток 3), поэтому минимальное  c = 3.

Ответ задачи отсутствует