Олимпиадные задачи из источника «1955 год» - сложность 2 с решениями

На плоскости<i>P</i>стоит прямой круговой конус. Радиус основания<i>r</i>, высота —<i>h</i>. На расстоянии<i>H</i>от плоскости и<i>l</i>от высоты конуса находится источник света. Какую часть окружности радиуса<i>R</i>, лежащей в плоскости<i>P</i>и концентрической с окружностью, лежащей в основании конуса, осветит этот источник?

Доказать, что если  ^<i>p</i>/_<i>q</i> – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома  <i>f</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то  <i>p – kq</i>  есть делитель числа  <i>f</i>(<i>k</i>) при любом целом <i>k</i>.

Пять человек играют несколько партий в домино (два на два) так, что каждый играющий имеет каждого из остальных один раз партнёром и два раза противником. Найти количество сыгранных партий и все способы распределения играющих.

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB, BC, CA</i> взяты соответственно точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ так, что  <i>AC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>B = BA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>C = CB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>A</i> = 1 : <i>n</i>.  На сторонах <i>A</i>₁<i>B</i>₁, <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>C</i&g...

Точка <i>O</i> лежит внутри выпуклого <i>n</i>-угольника <i>A</i>₁...<i>A_n</i> и соединена отрезками с вершинами. Стороны <i>n</i>-угольника нумеруются числами от 1 до <i>n</i>, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками <i>OA</i>₁, ..., <i>OA_n</i>.

  а) При  <i>n</i> = 9  найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников <i>A</i>₁<i>OA</i>₂, ..., <i>A_n</i><i>OA</i>₁ одинакова.

  б) Доказать, чт...

Дан$\Delta$<i>ABC</i>. Центры вневписанных окружностей<i>O</i>₁,<i>O</i>₂и<i>O</i>₃соединены прямыми. Доказать, что$\Delta$<i>O</i>₁<i>O</i>₂<i>O</i>₃— остроугольный.

Решить в целых числах уравнение  <i>x</i>³ – 2<i>y</i>³ – 4<i>z</i>³ = 0.

Дан трехгранный угол с вершиной<i>O</i>. Можно ли найти такое плоское сечение<i>ABC</i>, чтобы углы<i>OAB</i>,<i>OBA</i>,<i>OBC</i>,<i>OCB</i>,<i>OAC</i>,<i>OCA</i>были острыми?

Квадратная таблица в <i>n</i>² клеток заполнена числами от 1 до <i>n</i> так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если <i>n</i> нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., <i>n</i>. Доказать.

Дан$\Delta$<i>ABC</i>и точка<i>D</i>внутри него, причем<i>AC</i>-<i>DA</i>> 1 и<i>BC</i>-<i>BD</i>> 1. Берётся произвольная точка<i>E</i>внутри отрезка<i>AB</i>. Доказать, что<i>EC</i>-<i>ED</i>> 1.

Найти все действительные решения системы

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 1,

   <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ = 1.

Числа 1, 2, ..., <i>k</i>² расположены в квадратную таблицу <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78034/problem_78034_img_2.gif"></div>Произвольное число выписывается, после чего из таблицы вычеркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей из  (<i>k</i>– 1)²  чисел и т.д.<i>k</i>раз. Найти сумму выписанных чисел.

На окружности даны четыре точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим через<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, что<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁лежат на одной окружности.

Какие выпуклые фигуры могут содержать прямую?

Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.

Дан четырехугольник<i>ABCD</i>. На стороне<i>AB</i>взята точка<i>K</i>, на стороне<i>BC</i>&8212; точка<i>L</i>, на стороне<i>CD</i>— точка<i>M</i>и на стороне<i>AD</i>— точка<i>N</i>, так, что<i>KB</i>=<i>BL</i>=<i>a</i>,<i>MD</i>=<i>DN</i>=<i>b</i>. Пусть<i>KL</i>$\nparallel$<i>MN</i>. Найти геометрическое место точек пересечения прямых<i>KL</i>и<i>MN</i>при изменении<i>a</i>и<i>b</i>.

2^<i>n</i> = 10<i>a + b</i>.  Доказать, что если  <i>n</i> > 3,  то <i>ab</i> делится на 6.  (<i>n, a</i> и <i>b</i> – целые числа,  <i>b</i> < 10.)

Числа 1, 2, ..., 49 расположены в квадратную таблицу <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78024/problem_78024_img_2.gif"></div>Произвольное число из таблицы выписывается, после чего из таблицы вычёркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей и т.д., всего 7 раз. Найти сумму выписанных чисел.

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  <i>n</i>² + <i>n</i> + 1  делится на 1955?