Олимпиадные задачи из источника «1972 год» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

Озеро имеет форму невыпуклого<nobr><i>n</i>-угольника.</nobr>Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого<nobr><i>m</i>-угольника,</nobr>где<nobr><i>m</i>≤<i>n</i>.</nobr>

Для каждого непрямоугольного треугольника <i>T</i> обозначим через <i>T</i>₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>; через <i>T</i>₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>₁; аналогично определим треугольники <i>T</i>₃, <i>T</i>₄ и так далее. Каким должен быть треугольник <i>T</i>, чтобы

  а) треугольник <i>T</i>₁ был остроугольным?

  б) в последовательности <i>T</i>₁, <i>T</i>₂, <i>T</i&gt...

Пусть <i>a</i> – заданное вещественное число, <i>n</i> – натуральное число,  <i>n</i> > 1.

Найдите все такие <i>x</i>, что сумма корней <i>n</i>-й степени из чисел  <i>xⁿ – aⁿ</i>  и  2<i>aⁿ – xⁿ</i>  равна числу <i>a</i>.

Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для каждой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка.)

<i>P</i> и <i>Q</i> – подмножества множества выражений вида  (<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>),  где <i>a_i</i> – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа <i>k</i> (таких выражений всего <i>kⁿ</i>). Для каждого элемента  (<i>p</i>₁, ..., <i>p_n</i>)  множества <i>P</i> и каждого элемента  (<i>q</i>₁, ..., <i>q_n</i>)  множества <i>Q</i> существует хотя бы один такой номер <i>m</i>, что...

Последовательность  <i>x</i>₀, <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ...  определена следующими условиями:  <i>x</i>₀ = 1,  <i>x</i>₁ = λ,  для любого  <i>n</i> > 1  выполнено равенство <div align="center">(α + β)<i>ⁿx_n</i> = α<i>ⁿx_nx</i>₀ + α^<i>n</i>–1β<i>x</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>₁ + α^<i>n</i>–2β<sup>2</sup&gt...

Хозяин обещает работнику платить в среднем   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_2.gif">   рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального <i>n</i> выплаченная за первые <i>n</i> дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_3.gif">   Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.

<i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>m</i> < <i>n</i>.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73673/problem_73673_img_2.gif">

Для каждого натурального  <i>n</i> > 1  существует такое число <i>c_n</i>, что для любого <i>x</i> произведение синуса числа <i>x</i>, синуса числа  <i>x</i> + ^π/_<i>n</i>,  синуса числа

<i>x</i> + ^2π/_<i>n</i>,  ..., наконец, синуса числа  <i>x</i> + ^{(<i>n</i> – 1)π}/_<i>n</i>  равно произведению числа <i>c_n</i> на синус числа <i>nx</i>. Докажите это и найдите величину <i>c_n</i>.

<div class="catalogueproblemauthor">Автор: Л.Г.Макаров</div>Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах<i>АВ</i>,<i>ВС</i><nobr>и <i>АС</i></nobr>данного<nobr>треугольника <i>АВС</i>?</nobr>

Один из простейших многоклеточных<nobr>организмов —</nobr>водоросль<nobr>вольвокс —</nobr>представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток<nobr>на 12</nobr>больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через  <i>s</i>(<i>n</i>)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число <i>m</i> особым, если его нельзя представить в виде  <i>m = n + s</i>(<i>n</i>).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + <i>s</i>(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

Найдите все такие натуральные числа <i>m</i>, что произведение факториалов первых <i>m</i> нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых <i>m</i> натуральных чисел.

Докажите, что при любом простом  <i>p</i>   <img align="middle" src="/storage/problem-media/60750/problem_60750_img_2.gif">   делится на <i>p</i>.

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.