Олимпиадные задачи из источника «1971 год» для 2-8 класса - сложность 1-3 с решениями
В колбе находится колония из<i>n</i>бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?
Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, при этом <i>x<sub>k</sub></i> = ±1. Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 0, то <i>n</i> делится на 4.
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел <i>a, b, c, d</i> произведение чисел <i>a – d</i> и <i>b – c</i> отрицательно, то числа <i>b</i> и <i>c</i> можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.
Для любого натурального числа <i>n</i> существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2<sup><i>n</i></sup>. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)
а) Дан выпуклый многоугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>. На стороне <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> взяты точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>D</i><sub>2</sub>, на стороне <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> – точки <i>B</i><sub>2</sub> и <i>D</i><sub>3</sub>, ..., на стороне <i>A</i><sub><i>n</i></sub><i>A</i><sub>1</sub> – точки <i>B</i><sub><i>n</i></sub> и <i>D</i><sub&g...
а) Докажите, что в таблице <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73633/problem_73633_img_2.gif"></div>где каждое число равно сумме трёх стоящих над ним чисел, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число. б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?
Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.
В любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.
а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.
Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73613/problem_73613_img_2.gif"> где <i>x</i> и <i>y</i> – целые неотрицательные числа. Докажите это.
На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (все такие возможности равновероятны), окажется, что угаданы
а) ровно 4 клетки? б) ровно 5 клеток? в) все 8 клеток?
Пусть <i>p</i> – произвольное вещественное число. Найдите все такие <i>x</i>, что сумма кубических корней из чисел 1 – <i>x</i> и 1 + <i>x</i> равна <i>p</i>.
а) Прямоугольная таблица из <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.
б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом – в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?
Вот несколько примеров, когда сумма квадратов<nobr><i>k</i> последовательных</nobr>натуральных чисел равна сумме квадратов<nobr><i>k</i> – 1</nobr>следующих натуральных чисел:3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> = 5<sup>2</sup>, 36<sup>2</sup> + 37<sup>2</sup> + 38<sup>2</sup> + 39<sup>2</sup> + 40<sup>2</sup> = 41<sup>2</sup> + 42<sup>2</sup> + 43<sup>2</sup> + 44<sup>2</sup>, 55<sup>2</sup> + 56<sup>2</sup> + 57<sup>2</sup> + 58<sup>2</sup> + 59<sup>2</sup> + 60<sup>2</sup> = 61<sup>2</sup> + 62<sup>2</sup> + 63...
<table> <tr> <td valign="middle"> <img src="/storage/problem-media/73600/problem_73600_img_2.jpg"> </td> <td valign="top"> а) Пусть <nobr>0 < <i>k</i> < 1.</nobr> На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> отметим точки <i>E</i>, <i>А</i> и <i>G</i> таким образом, что <i>AE</i> : <i>EB</i> = <i>BF</i> : <i>FC</i> = <i>CG</i> : <i>GA</i> = <i>k</i>. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми <i>АF</i>, <i>BG</i> <nobr>и <i>CE</i>,</nobr> к...
Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого "шва", соeдиняющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? Например, такое расположение плиток, как на рисунке, не годится, так как здесь есть красный "шов".<div align="center"><img src="/storage/problem-media/73598/problem_73598_img_2.gif"></div>
Докажите, что для любого нечётного натурального числа <i>a</i> существует такое натуральное число <i>b</i>, что 2<sup><i>b</i></sup> – 1 делится на <i>a</i>.
Точки <i>P</i> и <i>Q</i> движутся с одинаковой постоянной скоростью <i>v</i> по двум прямым, пересекающимся в точке <i>O</i>.
Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка <i>A</i>, расстояния от которой до точек <i>P</i> и <i>Q</i> в любой момент времени равны.
Три окружности радиуса <i>R</i>проходят через точку <i>H</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i> — точки их попарного пересечения, отличные от <i>H</i>. Докажите, что: а) <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>; б) радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>тоже равен <i>R</i>.
Внутри квадрата <!-- MATH $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ --> <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub> взята точка <i>P</i>. Из вершины <i>A</i><sub>1</sub> опущен перпендикуляр на <i>A</i><sub>2</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>2</sub> — перпендикуляр на <i>A</i><sub>3</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>3</sub> — на <i>A</i><sub>4</sub><i>P</i>, из <i>A</i><sub>4</sub> — на <i>A</i><sub>1</sub><i>P</i>. Докажите...
Две стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.
На плоскости даны прямая <i>l</i> и две точки <i>P</i> и <i>Q</i>, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой <i>l</i> такую точку <i>M</i>, для которой расстояние между основаниями высот треугольника <i>PQM</i>, опущенных на стороны <i>PM</i> и <i>QM</i>, наименьшее.
На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия <i>EF</i> и опущен перпендикуляр <i>OK</i> из точки <i>O</i> пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам <i>EF</i> и <i>OK</i>?