Первый способ. Предположим, что нужная трапеция ABCD построена. Пусть точки E и F – середины её боковых сторон AB и CD, K – проекция точки O пересечения диагоналей AC и BD на основание AD. Если Q – точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, то прямая QO пересекает отрезки BC, EF и AD сооветственно в их серединах L, M и N. Рассмотрим случай, когда данные отрезки EF и OK пересекаются в некоторой точке G, причём  OG < KG.

  Пусть H – точка пересечения прямой OK с основанием BC. Тогда  QL : QN = BL : AN = BC : AD = BO : QD = OH : OK.

  Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку H, симметричную точке K относительно прямой EF; через точки K и H проводим прямые l и m, параллельные EF; находим точки L и N пересечения этих прямых с прямой MO, где M – середина отрезка EF; на продолжении отрезка NL за точку L откладываем такой отрезок LQ, что  LQ : QN = OH : OK.

  Пусть прямая QE пересекает прямые l и m соответственно в точках A и B, а прямая QF – в точках D и C. Тогда ABCD – искомая трапеция.

  Остальные случаи рассматриваются аналогично.

 Второй способ. Проведём через точкуKпрямуюl, параллельную данному отрезкуEF. Найдём точкуNпересечения прямойlс прямой, проходящей через данную точкуOи серединуMотрезкаEF. Построим параллелограммENFP. Проведём черезPпрямуюm, параллельнуюl. Затем проведём через точкуOпрямые, параллельные сторонам параллелограммаENFP. Точки, в которых эти прямые пересекают прямыеlиm, являются вершинами искомой трапеции.

Ответ задачи отсутствует