Олимпиадные задачи из источника «1970 год» для 7-10 класса - сложность 4 с решениями
Имеется натуральное число <i>n</i> > 1970. Возьмём остатки от деления числа 2<sup><i>n</i></sup> на 2, 3, 4, ..., <i>n</i>. Доказать, что сумма этих остатков больше 2<i>n</i>.
а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,
а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.
Биссектриса<i>AD</i>, медиана<i>BM</i>и высота<i>CH</i>остроугольного треугольника<i>ABC</i>пересекаются в одной точке. Докажите, что величина угла<i>BAC</i><nobr>больше 45°.</nobr>
а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.
б) Из любых 2<i>n</i> – 1 целых чисел можно выбрать <i>n</i>, сумма которых делится на <i>n</i>. Докажите это.
Найдите суммы
а) 1·<i>n</i> + 2(<i>n</i> – 1) + 3(<i>n</i> – 2) + ... + <i>n</i>·1.
б) <i>S<sub>n,k</sub></i> = (1·2·...·<i>k</i>)·(<i>n</i>(<i>n</i> – 1)...(<i>n</i> – <i>k</i> + 1)) + (2·3·...·(<i>k</i> + 1))·((<i>n</i> – 1)(<i>n</i> – 2)...(<i>n</i> – <i>k</i>)) + ... + ((<i>n</i> – <i>k</i> + 1)(<i>n</i> – <i>k</i> + 2)...·<i>n</i>)·(<i>k</i>(<i>k</i> – 1)·...·1).
Целые неотрицательные числа <i>x</i> и <i>y</i> удовлетворяют равенству <i>x</i>² – <i>mxy + y</i>² = 1 (1) тогда и только тогда, когда <i>x</i> и <i>y</i> – соседние члены последовательности (2): <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = <i>m</i>, <i>a</i><sub>3</sub> = <i>m</i>² – 1, <i>a</i><sub>4</sub> = <i>m</i>³ – 2<i>m</i>, <i>a</i><sub>5</sub> = <i>m</i><sup>4</sup> – 3<i>m</i>² + 1, ..., в которой <i>a</i><sub><i>...
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа <i>c</i>, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше <i>c</i>; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять <i>c</i> = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для <i>c</i> = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при <i>c</i> > 3 утверждение неверно.
На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.
Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек и расстояние между любыми двумя из которых<nobr>больше 1.</nobr>Докажите это.Расстояние между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.
<img align="RIGHT" src="/storage/problem-media/73564/problem_73564_img_2.gif"><i>n</i>одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?Как изменится ответ, если радиус этой монеты в <nobr><i>k</i> раз</nobr> больше радиуса каждой из монет цепочки?
Если сумма дробей <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73562/problem_73562_img_2.gif"> равна 0, то сумма дробей <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73562/problem_73562_img_3.gif"> тоже равна 0. Докажите это.
Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.
<img src="/storage/problem-media/73554/problem_73554_img_2.gif" width="172" height="69" vspace="10" hspace="20" align="right">В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени<nobr><i>t</i> = 0</nobr>возбудить три соседние клетки...
Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: "Как пройти в село <i>NN</i>?" Ему ответили: "Иди по левой дороге до деревни <i>N</i> – это в 8 верстах отсюда, – там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога – это как раз дорога в <i>NN</i>. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, – значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого <i>NN</i>". – "Ну, а какой путь короче-то будет?" – "Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы". И пошёл крестьянин по правой дороге.
Сколько вёрст ему придётся идти до <i>NN</i>? Больше десяти или меньше? А если идти...
Квадратная таблица размером <i>n×n</i> заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел каждой строки, так и сумма чисел каждого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать <i>n</i> положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
<img src="/storage/problem-media/73549/problem_73549_img_2.gif" width="182" height="178" vspace="10" hspace="20" align="right">У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если<nobr>а) чёрных</nobr>граней больше половины;<nobr>б) сумма</nobr>площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.
Если разность между наибольшим и наименьшим из<nobr><i>n</i> данных</nobr>вещественных чисел<nobr>равна <i>d</i>,</nobr>а сумма модулей всех<nobr><i>n</i>(<i>n</i> – 1)/2</nobr>попарных разностей этих чисел<nobr>равна <i>s</i>,</nobr>то(<i>n</i> – 1)<i>d</i> <font face="Symbol">£</font> <i>s</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i><sup>2</sup><i>d</i>/4.Докажите это.
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце
игры – после того, как все спички будут разобраны, – окажется чётное число спичек.
а) Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр? Как он должен играть, чтобы выиграть?
б) Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное число спичек?
в) Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек 2<i>n</i> + 1 и разрешено брать любое число спичек от 1 <nobr>до <i>m</i>.</nobr>
Учащиеся одной школы часто собираются группами и ходят в кафе-мороженое. После такого посещения они ссорятся настолько, что никакие двое из них после этого вместе мороженое не едят. К концу года выяснилось, что в дальнейшем они могут ходить в кафе-мороженое только поодиночке. Докажите, что если число посещений было к этому времени больше 1, то оно не меньше числа учащихся в школе.
<table border="0"> <tr> <td> <img align="left" src="/storage/problem-media/73538/problem_73538_img_2.gif"> </td> <td valign="top"> а) На рис. 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах сетки из одинаковых квадратов. При каком числе <i>n</i> цветов возможно аналогичное заполнение плоскости? б) На рис. 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе <i>n</i> цветов возможно аналогичное построение? <b>Примечание</b>. Имеются в виду только такие заполнения плоскости фигурками...
Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
Вершины правильного <i>n</i>-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.
Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.
В треугольнике <i>ABC</i> через середину <i>M</i> стороны <i>BC</i> и центр <i>O</i> вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая <i>MO</i>, которая пересекает высоту <i>AH</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что отрезок <i>AE</i> равен радиусу вписанной окружности.