Примем радиус монет, составляющих цепочку, за единицу. Из рис.3 видно, что за то время, пока монета радиуса k прокатится по дуге α неподвижной окружности радиуса1, она повернется на угол α (1+1/k): на этом рисунке радиусы MA и M'A'' параллельны, A'' M' B= AOB= α и, поскольку дугиA'B иAB равны по длине, BMA'=α/k , следовательно, весь угол A'' M' A' , на который повернулась монета M , равен α+α/k (в частности, при k=1этот угол равен2α ).

Теперь найдем сумму дуг, состоящих из таких точек неподвижных монет, которых монета M касалась при качении по цепочке. Пусть O₁, O₂, ... O_n – центры монет цепочки. Сумма дуг, лежащих внутри многоугольника O₁ O₂ ...O_n равна сумме его внутренних углов, т.е. π(n-2). Сумма дуг, лежащих вне многоугольника, следовательно, равна2π n-π (n-2)= π (n+2). Из нее нужно вычесть еще сумму дуг, лежащих в углублениях между двумя соседними монетами, в которые M не попадает. В каждом из n углублений сумма двух таких дуг равна2π/3при k=1(рис.4а ) и2arccos 1/(k+1)в общем случае (рис.4б). Итак, сумма дуг, по которым прокатится монета M , равна π(n+2)-2π n/3(в общем случае π(n+2)-2n arccos 1/(k+1)). Чтобы узнать исковое число оборотов, нужно умножить эту величину на2(в общем случае, на1+1/k ) и разделить на2π .

Ответ.( n/3+2)оборота при k=1; (k+1)/2k (n- 2/π n arccos 1/(k+1)+2)оборота в общем случае ( n 3).

В этом решении мы использовали (подсчитывая "потери" в углублениях между монетами) то, что монета M прокатывается по всем n монетам подряд, без исключения. Это условие необходимо для того, чтобы задача имела определенный ответ. Для цепочек с "узкими просветами" (см.рис.), разумеется, нельзя только по числу n узнать, на сколько повернется монета M . Достаточным, но не необходимым условием, чтобы задача была разрешимой, является следующее: многоугольник O₁ O₂ ...O_n выпуклый.

Подумайте, как подучить ответ, если вместо замкнутой цепочки имеется просто одна монета, две касающиеся друг друга монеты и вообще незамкнутая цепочка из n монет O₁, O₂, ... O_n , в которой O_k касается O_k+1, расположенных так, что M может прокатиться туда и обратно по всем монетам в таком порядке: O₁, O₂, ... O_n-1, O_n , O_n-1, ... O₁ (см. рис.) (Указание: Достаточно в написанных выше формулах заменить n на2n-2.)

<style type="text/css"> div.p { margin-top: 7pt;}</style><style type="text/css"></style><title>Ответ</title>( [n/3]+2) оборота при k=1; [(k+1)/2k] (n-[2/(π)] n  arccos [1/(k+1)]+2) оборота в общем случае (n >= 3).