Решение. Достаточно проследить, как распространяется возбуждение от одиночной клетки первые десять-пятнадцать тактов (см.рис.), чтобы подметить следующие закономерности.

1. В момент времени t=2^k , где k=0, 1, 2, ... возбуждены только две клетки: x=-2^k и x=2^k .

2. В момент времени t=2^k-1возбуждены2^k клеток от x=-2^k+1до x=2^k-1с нечетными x .

3. Пусть0 t<2^k . Тогда в момент времени2^k+t возбуждено ровно вдвое больше клеток, чем в момент времени t .

Для доказательства этих закономерностей (индукцией по k ) можно воспользоваться тем, что "волны возбуждения", рождаемые каждой из двух клеток, активных в момент2^k , не перекрываются вплоть до момента времени t=2^k+1-1и поэтому каждая из них устроена точно так же, как волна возбуждения от одной клетки при t<2^k .

Теперь уже легко ответить на вопросы, поставленные в задаче. Через15мсек, как это видно и по рисунку, будет16возбужденных клеток. Через64=2⁶ их будет две, поэтому через65– четыре. Для произвольного конкретного t можно подсчитать f(t)– количество возбужденных клеток в момент времени t ,– несколько раз последовательно применяя свойство3: каждый раз от t можно вычитать наибольшую возможную степень двойки; от этого f(t)уменьшится вдвое. Например: Легко сформулировать ответ в общем виде, пользуясь двоичной системой счисления.

Действительно, вычесть из числа наибольшую возможную степень двойки– это все равно что в его двоичной записи выбросить первую цифру. Таким образом, для всех t f(t) равно 2^m, где m - количество единиц в записи числа t по двоичной системе счисления. Это правило легко доказывается по индукции, а для первых t вы можете его проверить– на рис.5 справа выписаны двоичные разложения чисел t .

Обратите внимание на то, что расположение возбужденных клеток на рис.5 в точности совпадает с расположением единиц в треугольнике Паскаля по модулю два. Таким образом, мы одновременно решили такую задачу: сколько единиц в t -й строке треугольника Паскаля по модулю2, другими словами, сколько среди биномиальных коэффициентов C_t^k ( k=0, 1, ... t ) нечетных?

Ответ на второй вопрос, поставленный в условии задачи– что будет, если N клеток расположить по окружности?– зависит, конечно, не только от N , но, вообще говоря, и от "начального состояния"– от того, какие клетки возбуждены в начальный момент времени. В этой задаче существует общее простое правило, позволяющее для каждого начального состояния указать, перейдут ли когда-нибудь все клетки в состояние покоя. Попробуйте найти его самостоятельно.

Ответ задачи отсутствует