Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» для 1-8 класса - сложность 4-5 с решениями
глава 3. Окружности
НазадДокажите, что диагонали <i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>описанного шестиугольника <i>ABCDEF</i>пересекаются в одной точке (Брианшон).
На плоскости даны две неконцентрические окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно <i>S</i><sub>1</sub>равна степени относительно <i>S</i><sub>2</sub>, является прямая.
Треугольники <i>ABC</i><sub>1</sub>и <i>ABC</i><sub>2</sub>вписаны в окружность <i>S</i>, причем хорды <i>AC</i><sub>2</sub>и <i>BC</i><sub>1</sub>пересекаются. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>касается хорды <i>AC</i><sub>2</sub>в точке <i>M</i><sub>2</sub>, хорды <i>BC</i><sub>1</sub>в точке <i>N</i><sub>1</sub>и окружности <i>S</i>. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников <i>ABC</i><sub>1</sub>и <i>ABC</i><sub>2</sub>лежат на отрезке <i>M</i><sub>2</sub><i>N&l...
Окружность, касающаяся сторон <i>AC</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка <i>MN</i>совпадает с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
На диаметре<i>AB</i>окружности<i>S</i>взята точка<i>K</i>и из нее восставлен перпендикуляр, пересекающий<i>S</i>в точке<i>L</i>. Окружности<i>S</i><sub>A</sub>и<i>S</i><sub>B</sub>касаются окружности<i>S</i>, отрезка<i>LK</i>и диаметра<i>AB</i>, а именно,<i>S</i><sub>A</sub>касается отрезка<i>AK</i>в точке<i>A</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>B</sub>касается отрезка<i>BK</i>в точке<i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что$\angle$<i>A</i><sub>1</sub><i>LB</i><sub>1</sub>= 45<sup><tt>...
Пусть <i>O</i><sub>a</sub>,<i>O</i><sub>b</sub>и <i>O</i><sub>c</sub> — центры описанных окружностей треугольников <i>PBC</i>,<i>PCA</i>и <i>PAB</i>. Докажите, что если точки <i>O</i><sub>a</sub>и <i>O</i><sub>b</sub>лежат на прямых <i>PA</i>и <i>PB</i>, то точка <i>O</i><sub>c</sub>лежит на прямой <i>PC</i>.
Даны диаметр <i>AB</i>окружности и точка <i>C</i>, не лежащая на прямой <i>AB</i>. С помощью одной линейки (без циркуля) опустите перпендикуляр из точки <i>C</i>на <i>AB</i>, если: а) точка <i>C</i>не лежит на окружности; б) точка <i>C</i>лежит на окружности.
Прямые <i>PC</i>и <i>PD</i>касаются окружности с диаметром <i>AB</i>(<i>C</i>и <i>D</i> — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая <i>P</i>с точкой пересечения прямых <i>AC</i>и <i>BD</i>, перпендикулярна <i>AB</i>.
Окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем центр <i>O</i>окружности <i>S</i><sub>1</sub>лежит на <i>S</i><sub>2</sub>. Прямая, проходящая через точку <i>O</i>, пересекает отрезок <i>AB</i>в точке <i>P</i>, а окружность <i>S</i><sub>2</sub>в точке <i>C</i>. Докажите, что точка <i>P</i>лежит на поляре точки <i>C</i>относительно окружности <i>S</i><sub>1</sub>.
Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность, причем касательные в точках <i>B</i>и <i>D</i>пересекаются в точке <i>K</i>, лежащей на прямой <i>AC</i>. а) Докажите, что <i>AB</i><sup> . </sup><i>CD</i>=<i>BC</i><sup> . </sup><i>AD</i>. б) Прямая, параллельная <i>KB</i>, пересекает прямые <i>BA</i>,<i>BD</i>и <i>BC</i>в точках <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>. Докажите, что <i>PQ</i>=<i>QR</i>.
Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках <i>D</i>и <i>E</i>; <i>M</i> — середина отрезка <i>BC</i>. Докажите, что <i>BM</i><sup>2</sup>=<i>DM</i><sup> . </sup><i>ME</i>и угол <i>DME</i>в два раза больше угла <i>DBE</i>или угла <i>DCE</i>; кроме того, $\angle$<i>BEM</i>=$\angle$<i>DEC</i>.
Три окружности одного радиуса проходят через точку <i>P</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>Q</i> — точки их попарного пересечения. Четвертая окружность того же радиуса проходит через точку <i>Q</i>и пересекается с двумя другими в точках <i>C</i>и <i>D</i>. При этом треугольники <i>ABQ</i>и <i>CDP</i>остроугольные, а четырехугольник <i>ABCD</i>выпуклый (рис.). Докажите, что <i>ABCD</i> — параллелограмм.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56683/problem_56683_img_2.gif" border="1"></div>
Три равные окружности пересекаются так, как показано на рис., <i>а</i>или <i>б</i>. Докажите, что $\smile$<i>AB</i><sub>1</sub>+$\smile$<i>BC</i><sub>1</sub>±$\smile$<i>CA</i><sub>1</sub>= 180<sup><tt>o</tt></sup>, где знак минус берется в случае <i>б</i>.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56682/problem_56682_img_3.gif" border="1"></div>
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
На каждой стороне четырехугольника <i>ABCD</i>взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник <i>ABCD</i>тоже описанный. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/56664/problem_56664_img_2.gif" border="1"></div>
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Вневписанная окружность треугольника<i>ABD</i>касается продолжений сторон <i>AD</i>и <i>AB</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что точки пересечения отрезка <i>MN</i>с <i>BC</i>и <i>CD</i>лежат на вписанной окружности треугольника <i>BCD</i>.
К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что четырехугольник <i>ABCD</i>описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.