Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» - сложность 4 с решениями

Прямые<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>A</i>₃<i>B</i>₃,<i>A</i>₃<i>B</i>₃и <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₁и <i>A</i>₂<i>B</i>₂пересекаются в точках <i>P</i>₁,<i>P</i>₂,<i>P</i>₃соответственно. а) Докажите, что описанные окружности треугольников<i>A</i><sub>1&lt...

Параллелограмм<i>ABCD</i>отличен от ромба. Прямые, симметричные прямым<i>AB</i>и <i>CD</i>относительно диагоналей<i>AC</i>и <i>DB</i>соответственно, пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>Q</i> — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AO</i>в отрезок<i>OD</i>, где <i>O</i> — центр параллелограмма.

Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.

Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>по$\angle$<i>B</i>+$\angle$<i>D</i>,<i>a</i>=<i>AB</i>,<i>b</i>=<i>BC</i>,<i>c</i>=<i>CD</i>и <i>d</i>=<i>DA</i>.

На стороне<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>дана точка <i>P</i>. Впишите в треугольник<i>ABC</i>треугольник<i>PXY</i>, подобный данному треугольнику<i>LMN</i>.

Дана полуокружность с диаметром<i>AB</i>. Для каждой точки <i>X</i>этой полуокружности на луче<i>XA</i>откладывается точка <i>Y</i>так, что<i>XY</i>=<i>kXB</i>. Найдите ГМТ <i>Y</i>.

Прямоугольный треугольник<i>ABC</i>изменяется таким образом, что вершина <i>A</i>прямого угла треугольника не изменяет своего положения, а вершины <i>B</i>и <i>C</i>скользят по фиксированным окружностям <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающимся внешним образом в точке <i>A</i>. Найдите геометрическое место оснований <i>D</i>высот<i>AD</i>треугольников<i>ABC</i>.

В каждый угол треугольника<i>ABC</i>вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁ — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Построены четыре окружности равного радиуса $\rho$так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите $\rho$, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны <i>r</i>и <i>R</i>соответственно.

Окружности $\alpha$,$\beta$и $\gamma$имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>треугольника<i>ABC</i>соответственно. Окружность $\delta$касается внешним образом всех трех окружностей $\alpha$,$\beta$и $\gamma$. Докажите, что центр окружности $\delta$лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника<i>ABC</i>.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник $\Phi$содержит два непересекающихся многоугольника $\Phi_{1}^{}$и $\Phi_{2}^{}$, подобных $\Phi$с коэффициентом 1/2.