Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» - сложность 1-2 с решениями

Пусть<i>H</i>₁и<i>H</i>₂— две поворотные гомотетии. Докажите, что<i>H</i>₁<tt>o</tt><i>H</i>₂=<i>H</i>₂<tt>o</tt><i>H</i>₁тогда и только тогда, когда<i>H</i>₁<tt>o</tt><i>H</i>₂(<i>A</i>) =<i>H</i>₂<tt>o</tt><i>H</i>₁(<i>A</i>) для некоторой точки<i>A</i>.

Пусть<i>H</i>₁и<i>H</i>₂— две поворотные гомотетии. Докажите, что<i>H</i>₁<tt>o</tt><i>H</i>₂=<i>H</i>₂<tt>o</tt><i>H</i>₁тогда и только тогда, когда центры этих поворотных гомотетий совпадают.

Постройте центр <i>O</i>поворотной гомотетии с данным коэффициентом<i>k</i>$\ne$1, переводящей прямую <i>l</i>₁в прямую <i>l</i>₂, а точку <i>A</i>₁лежащую на <i>l</i>₁, — в точку <i>A</i>₂.

а) Пусть <i>P</i> — точка пересечения прямых<i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁. Докажите, что если среди точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>P</i>нет совпадающих, то общая точка описанных окружностей треугольников<i>PAA</i>₁и <i>PBB</i>₁является центром поворотной гомотетии, переводящей точку <i>A</i>в <i>A</i>₁, а точку <i>B</i>в <i>B</i>₁, причем такая поворотная гомотетия единственна. б) Докажите, что центром поворотной го...

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. При поворотной гомотетии <i>P</i>с центром <i>A</i>, переводящей <i>S</i>₁в <i>S</i>₂, точка <i>M</i>₁окружности <i>S</i>₁переходит в <i>M</i>₂. Докажите, что прямая<i>M</i>₁<i>M</i>₂проходит через точку <i>B</i>.

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Прямые <i>p</i>и <i>q</i>, проходящие через точку <i>A</i>, пересекают окружность <i>S</i>₁в точках <i>P</i>₁и <i>Q</i>₁, а окружность <i>S</i>₂ — в точках <i>P</i>₂и <i>Q</i>₂. Докажите, что угол между прямыми<i>P</i>₁<i>Q</i>₁и <i>P</i>₂<i>Q</i><sub>2</sub&gt...

Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами <i>k</i>₁и <i>k</i>₂, где<i>k</i>₁<i>k</i>₂$\ne$1, является гомотетией с коэффициентом<i>k</i>₁<i>k</i>₂, причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий. Исследуйте случай<i>k</i>₁<i>k</i>₂= 1.

Преобразование <i>f</i>обладает следующим свойством: если <i>A'</i>и <i>B'</i> — образы точек <i>A</i>и <i>B</i>, то<img width="38" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/58001/problem_58001_img_2.gif" alt="$ \overrightarrow{A'B'}$">=<i>k</i>$\overrightarrow{AB}$, где <i>k</i> — постоянное число. Докажите, что: а) если<i>k</i>= 1, то преобразование <i>f</i>является параллельным переносом; б) если<i>k</i>$\ne$1, то преобразование <i>f</i>является гомотетией.

Постройте на стороне<i>BC</i>данного треугольника<i>ABC</i>такую точку, что прямая, соединяющая основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны<i>AB</i>и <i>AC</i>, параллельна <i>BC</i>.

Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/157855">16.18</a>с помощью гомотетии.

Дан остроугольный треугольник<i>ABC</i>. Постройте точки <i>X</i>и <i>Y</i>на сторонах<i>AB</i>и <i>BC</i>так, что a) <i>AX</i>=<i>XY</i>=<i>YC</i>; б) <i>BX</i>=<i>XY</i>=<i>YC</i>.

Даны угол<i>ABC</i>и точка <i>M</i>внутри его. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку <i>M</i>.

Медианы<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁треугольника<i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>;<i>P</i> — произвольная точка. Прямая <i>l</i>_aпроходит через точку <i>A</i>параллельно прямой<i>PA</i>₁; прямые <i>l</i>_bи <i>l</i>_cопределяются аналогично. Докажите, что: а) прямые <i>l</i>_a,<i>l</i>_bи <i>l</i>_cпересекаются в одной точке <i>Q</i>; б) точка <i>M</i>лежит на отрезке&lt...

В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.

На плоскости даны точки <i>A</i>и <i>B</i>и прямая <i>l</i>. По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольников<i>ABC</i>, если точка <i>C</i>движется по прямой <i>l</i>?

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

Две окружности касаются в точке <i>K</i>. Через точку <i>K</i>проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках <i>A</i>и <i>B</i>, вторую — в точках <i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что<i>AB</i>|<i>CD</i>.

Две окружности касаются в точке <i>K</i>. Прямая, проходящая через точку <i>K</i>, пересекает эти окружности в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что касательные к окружностям, проведенные через точки <i>A</i>и <i>B</i>, параллельны.

Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.

Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.