Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Делимость»

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

На 99 карточках пишутся числа 1, 2, ..., 99. Затем карточки тасуются и раскладываются чистыми сторонами вверх. На чистых сторонах карточек снова пишутся числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Докажите, что в результате получится чётное число.

Докажите, что среди любых десяти последовательных натуральных чисел найдётся число, взаимно простое с остальными.

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

Докажите, что если <i>p</i> – простое число, то   (<i>a</i> + <i>b</i>)^<i>p</i> – <i>a^p – b^p</i>   делится на  <i>p</i> при любых целых <i>a</i> и <i>b</i>.

а) Докажите, что если <i>p</i> — простое число и  2 ≤ <i>k ≤ p</i> – 2,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60670/problem_60670_img_2.gif">  делится на <i>p</i>. б) Верно ли обратное утверждение?

Докажите утверждение обратное тому, что было в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160668">160668</a>:

     если  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60669/problem_60669_img_2.gif">  делится на <i>n</i> при всех  1 ≤ <i>k ≤ n</i> – 1,  то <i>n</i> – простое число.

Докажите, что если <i>p</i> – простое число и  1 ≤ <i>k ≤ p</i> – 1,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60668/problem_60668_img_2.gif">  делится на <i>p</i>.

Докажите, что в трёхзначном числе, кратном 37, всегда можно переставить цифры так, что новое число также будет кратно 37.

Дан многочлен с целыми коэффициентами. Если в него вместо неизвестного подставить 2 или 3, то получаются числа, кратные 6.

Докажите, что если вместо неизвестного в него подставить 5, то также получится число, кратное 6.

Имеется много одинаковых квадратов. В вершинах каждого из них в произвольном порядке написаны числа 1, 2, 3 и 4. Квадраты сложили в стопку и написали сумму чисел, попавших в каждый из четырёх углов стопки. Может ли оказаться так, что

  а) в каждом углу стопки сумма равна 2004?

  б) в каждом углу стопки сумма равна 2005?

Число <i>x</i> таково, что <i>x</i>² заканчивается на 001 (в десятичной системе счисления).

Найдите три последние цифры числа <i>x</i> (укажите все возможные варианты).

Докажите, что  7^{7^{7^7⁷}} – 7^{7^7⁷}  делится на 10.

Докажите, что числа от 1 до 2001 включительно нельзя выписать подряд в некотором порядке так, чтобы полученное число было точным кубом.

Назовём шестизначное число <i>счастливым</i>, если сумма его первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что сумма всех счастливых чисел делится на 13. (Числа, записываемые менее, чем шестью цифрами, в этой задаче также считаются шестизначными.)

Докажите, что число  1¹⁹⁹⁹ + 2¹⁹⁹⁹ + ... + 16¹⁹⁹⁹  делится на 17.

Решите в целых числах уравнения:

  а)  3<i>x</i>² + 5<i>y</i>² = 345;

  б)  1 + <i>x + x² + x</i>³ = 2^<i>y</i>.

Сколько имеется прямоугольных треугольников, длины сторон которых выражены целыми числами, если один из катетов этих треугольников равен 15?

Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что  <i>m > n</i>,  <i>m</i> не делится на <i>n</i> и имеет от деления на <i>n</i> тот же остаток, что и  <i>m + n</i>  от деления на  <i>m – n</i>.

Найдите отношение  <i>m</i> : <i>n</i>.

Докажите, что для любого простого числа  <i>p</i> > 2  числитель дроби  ^<i>m</i>/_<i>n</i> = ¹/₁ + ¹/₂ + ... + ¹/_<i>p</i>–1  делится на <i>p</i>.

Докажите, что

  а)  2⁴¹ + 1  делится на 83;

  б)  2⁷⁰ + 3⁷⁰  делится на 13;

  в)  2⁶⁰ – 1  делится на 20801.

Докажите, что числа    а)  2^3²⁰⁰¹ + 1;     б)  2^3²⁰⁰¹ – 1   – составные.

Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере

  а) 8;  б) 32 различных делителя.

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3<i>n</i> одинаковых цифр, делится на 37.

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.