Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Геометрические методы
НазадИзобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты <i>x</i> и <i>у</i> которых удовлетворяют неравенству <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116892/problem_116892_img_2.gif"> .
Найдите наибольшее значение выражения <i>x</i>² + <i>y</i>², если |<i>x – y</i>| ≤ 2 и |3<i>x + y</i>| ≤ 6.
В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub> четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i><sub>1</sub> – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i><sub>1</sub> < <i>AB</i> < <i>BC</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>, <i>ADD</i>...
В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> сторона основания <i>ABC</i> равна 4, угол между плоскостью основания <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116519/problem_116519_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины отрезков <i>AB</i>, <i>DK</i>, <i>AC</i> соответственно, точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>CM</i> и 5<i>ME = CE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>CM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i...
В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116518/problem_116518_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i>, <i>CD</i>, <i>AC</i> соответственно. Точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>KM</i> и 2<i>ME</i> = <i>KE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>KM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i>N</i...
Прямая пересекает график функции <i>y = x</i>² в точках с абсциссами <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub>, а ось абсцисс – в точке с абсциссой <i>x</i><sub>3</sub>. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116488/problem_116488_img_2.gif"> .
В кубе <i>АВСDA'B'C'D'</i> с ребром 1 точки <i>T, Р</i> и <i>Q</i> – центры граней <i>AA'B'B, A'B'C'D</i>' и <i>BB'C'C</i> соответственно.
Найдите расстояние от точки <i>Р</i> до плоскости <i>АTQ</i>.
Докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки пространства до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.
На рёбрах<i> NN</i>1и<i> KN </i>куба<i> KLMNK</i>1<i>L</i>1<i>M</i>1<i>N</i>1отмечены точки<i> P </i>и<i> Q </i>, причём<i> <img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_2.gif">=<img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_3.gif"> </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/110446/problem_110446_img_4.gif"> = </i>4. Через точки<i> M</i>1,<i> P </i>и<i> Q </i>проведена плоскость. Найдите расстояние от точки<i> K </i>до этой плоскости, если ребро куба равно 3
Ребро куба<i> EFGHE</i>1<i>F</i>1<i>G</i>1<i>H</i>1равно 2. На рёбрах<i> EH </i>и<i> HH</i>1взяты точки<i> A </i>и<i> B </i>, причём<i> <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_2.gif">=</i>2,<i> <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_3.gif"> = <img src="/storage/problem-media/110445/problem_110445_img_4.gif"> </i>. Через точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> G</i>1проведена плоскость. Найдите расстояние от точки<i> E </i>до этой плоскости.
На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)
Докажите, что прямая <!-- MATH $3x - 4y + 25 = 0$ --> 3<i>x</i> - 4<i>y</i> + 25 = 0 касается окружности <!-- MATH $x^{2} + y^{2} = 25$ --> <i>x</i><sup>2</sup> + <i>y</i><sup>2</sup> = 25 и найдите координаты точки касания.
Найдите длину хорды, которую на прямой <i>y</i> = 3<i>x</i> высекает окружность <!-- MATH $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ --> (<i>x</i> + 1)<sup>2</sup> + (<i>y</i> - 2)<sup>2</sup> = 25.
В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.
Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?
Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.
Окружность с центром в точке <i>M</i>(3;1) проходит через начало координат. Составьте уравнение окружности.
Даны точки <i>A</i>(- 2;0), <i>B</i>(1;6), <i>C</i>(5;4) и <i>D</i>(2; - 2). Докажите, что четырехугольник <i>ABCD</i> — прямоугольник.
Даны точки <i>A</i>(2;4), <i>B</i>(6; - 4) и <i>C</i>(- 8; - 1). Докажите, что треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.
На координатной плоскости заданы точки<i>A</i>(0;2),<i>B</i>(1;7),<i>C</i>(10;7) и<i>D</i>(7;1). Найдите площадь пятиугольника<i>ABCDE</i>, где<i>E</i>— точка пересечения прямых<i>AC</i>и<i>BD</i>.
Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер <i>a, b, c</i> этого куба.
Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что <i>a</i>² + <i>b</i>² – <i>ab = c</i>². Докажите, что (<i>a – c</i>)(<i>b – c</i>) ≤ 0.
Сумма <i>n</i> чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше – <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub>.