Олимпиадная задача по геометрическим методам для 10-11 классов: равенство сумм квадратов расстояний в прямоугольнике
Задача
Докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки пространства до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.
Решение
Пусть ABCD – прямоугольник со сторонами AB=a и AD=b . Выберем прямоугольную систему координат, направив ось OX по лучу AB , ось OY – по лучу AC , а ось OZ по лучу с началом в точке A и перпендикулярному плоскости прямоугольника. Пусть M(x;y;z)– произвольная точка пространства. Найдём квадраты расстояний от этой точки до вершин A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;b;0)и D(0;b;0):
MA2 = (x-0)2+(y-0)2+(z-0)2 = x2+y2+z2,
MB2 = (x-a)2+(y-0)2+(z-0)2 = (x-a)2+y2+z2,
MC2 = (x-a)2+(y-b)2+(z-0)2 = (x-a)2+(y-b)2+z2,
MD2 = (x-0)2+(y-b)2+(z-0)2 = x2+(y-b)2+z2.
MA2 +MC2 = (x2+y2+z2)+ ((x-a)2+(y-b)2+z2)=
=((x-a)2+y2+z2) + (x2+(y-b)2+z2) = MB2+MD2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь