Назад

Олимпиадная задача: доказательство прямоугольности треугольника ABC по координатам

Задача 202706 • Сложность: 2 • 8-10 класс
Задача

Даны точки A(2;4), B(6; - 4) и C(- 8; - 1). Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Разделы:
Планиметрия Геометрические методы
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
2
Решение
Первый способ.
По формуле для расстояния между двумя точками находим, что
AB = $\displaystyle \sqrt{(6-2)^{2} + (-4-4)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{16+64}$ = $\displaystyle \sqrt{80}$, 
AC = $\displaystyle \sqrt{(-8-2)^{2} + (-1-4)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{100+25}$ = $\displaystyle \sqrt{125}$, 
BC = $\displaystyle \sqrt{(-8-6)^{2} + (-1+4)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{196+9}$ = $\displaystyle \sqrt{205}$.
ПосколькуAB2+AC2= 80 + 125 = 205 =BC2, то треугольникABC— прямоугольный.
Второй способ.
Поскольку
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(6-2;-4-4)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(4;-8)}$, $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-8-2;-1-4)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-10;-5)}$, 
$\displaystyle \overrightarrow{BC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-8-6;-1+4)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-14;3)}$,
то
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ . $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = 4 . (- 10) + (- 8) . (- 5) = - 40 + 40 = 0,
то$\overrightarrow{AB}$$\perp$$\overrightarrow{AC}$. Следовательно, треугольникABC— прямоугольный.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет