Олимпиадная задача по стереометрии: расстояние от точки до плоскости в кубе для 10-11 классов

Поскольку = , прямая AB параллельна диагонали H1E квадрата EHH1E1, а т.к. H1E || G1F , то AB || G1F . Значит, прямые AB и G1F лежат в одной плоскости – в секущей плоскости, проходящей через точки A , B и G1. Таким образом, трапеция ABG1F – сечение, о котором говорится в условии задачи.

Пусть K – точка пересечения AF и EG . Тогда секущая плоскость и плоскость диагонального сечения EGG1E1пересекаются по прямой G1K . Прямая G1K пересекает лежащую с ней в плоскости EGG1E1прямую EE1в некоторой точке D . Тогда искомое расстояние от точки E до плоскости ABG1F равно высоте тетраэдра DAFE , проведённой из вершины E .

Из подобия треугольников AKE и FKG следует, что

= = = .

Из подобия треугольников DKE и G1KG находим, что

DE = GG1· =GG1· =· 2= .

Тогда

DF= = = ,

AF= = = ,

AD = AE = .

Пусть FP – высота равнобедренного треугольника ADF . Тогда

FP = = = = .

Пусть V – объём тетраэдра DAFE . Поскольку AE – высота тетраэдра, то

V=S_{Δ DEF}· AE = · DE· EF · AE= · · 2· = .

С другой стороны, V=S_{Δ ADF}· h , где h – искомое расстояние. Следовательно,

h = = = = 2.

Введём систему координат Oxyz , направив ось Ox по лучу HG , ось Oy – по лучу HE , ось Oz – по лучу HH1. Найдём координаты нужных нам точек: G1(2;0;2), E(0;2;0). Запишем уравнение плоскости ABG1в отрезках:

++ =1.

Подставив в это уравнение координаты точки G1найдём, что a=-1. Тогда уравнение секущей плоскости имеет вид

-x+y+z= 1, или2x-3y-3z+2=0.

Пусть h – искомое расстояние. По формуле для расстояния от точки до плоскости находим, что

h= = =2.

2 .