Олимпиадная задача: докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник
Задача
Даны точки A(- 2;0), B(1;6), C(5;4) и D(2; - 2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.
Решение
Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, если AB$\Vert$DC, AB = DC и
AB $\perp$ AD. Для этого достаточно доказать, что $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ и
$\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AD}$.
Поскольку
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-(-2);6-0)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;6)}$, $\displaystyle \overrightarrow{DC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(5-2);4-(-2)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;6)}$,
$\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(2-(-2);-2-0)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(4;-2)}$,
то$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$и
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ . $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = 3 . 4 + 6 . (- 2) = 0.
Что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет