Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 3-10 класса - сложность 3 с решениями
Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, <i>b</i><sub>3</sub>, что <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub> ≠ 0. Оказалось, что <i>P</i>(<i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>) + <i>P</i>(<i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3<...
Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение <i>х</i><sup>4</sup> – 4<i>х</i><sup>3</sup> + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений <i>ax</i><sup>11</sup> + <i>bx</i><sup>4</sup> + <i>c</i> = 0, <i>bx</i><sup>11</sup> + <i>cx</i><sup>4</sup> + <i>a</i> = 0, <i>cx</i><sup>11</sup> + <i>ax</i><sup>4</sup> + <i>b</i> = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Целые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif"> целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?
Докажите, что если числа <i>x, y, z</i> при некоторых значениях <i>p</i> и <i>q</i> являются решениями системы
<i>y = x<sup>n</sup> + px + q, z = y<sup>n</sup> + py + q, x = z<sup>n</sup> + pz + q</i>,
то выполнено неравенство <i>x</i>²<i>y + y</i>²<i>z + z</i>²<i>x ≥ x</i>²<i>z + y</i>²<i>x + z</i>²<i>y</i>.
Рассмотрите случаи а) <i>n</i> = 2; б) <i>n</i> = 2010.
Докажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.
В бесконечной последовательности (<i>x<sub>n</sub></i>) первый член <i>x</i><sub>1</sub> – рациональное число, большее 1, и <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>x<sub>n</sub></i> + <sup>1</sup>/<sub>[<i>x<sub>n</sub></i>]</sub> при всех натуральных <i>n</i>.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Дан квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>. Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>. Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.
Последовательность(<i>a<sub>n</sub></i>)задана условиями<i> a<sub>1</sub>= </i>1000000,<i> a<sub>n+</sub></i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что <i>f</i> '(<i>x</i>)<i>g</i>'(<i>x</i>) ≥ |<i>f</i>(<i>x</i>)| + |<i>g</i>(<i>x</i>)| при всех действительных <i>x</i>.
Докажите, что произведение <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) равно квадрату некоторого трёхчлена.
Высота<i> SO </i>правильной четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>образует с боковым ребром угол<i> α </i>, объём этой пирамиды равен<i> V </i>. Вершина второй правильной четырёхугольной пирмиды находится в точке<i> S </i>, центр основания – в точке<i> C </i>, а одна из вершин основания лежит на прямой<i> SO </i>. Найдите объём общей части этих пирамид.
Объём правильной четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>равен<i> V </i>. Высота<i> SP </i>пирамиды является ребром правильного тетраэдра<i> SPQR </i>, плоскость грани<i> PQR </i>которого перпендикулярна ребру<i> SC </i>. Найдите объём общей части этих пирамид.
Непрерывная функция<i> f</i>(<i>x</i>)такова, что для всех действительных<i> x </i>выполняется неравенство:<i> f</i>(<i>x<sup>2</sup></i>)<i>-</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i><sup>2</sup><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/111264/problem_111264_img_3.gif"> </i>. Верно ли, что функция<i> f</i>(<i>x</i>)обязательно имеет точки экстремума?
Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.
При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа <i>a</i> и <i>b</i>, что оба числа <i>a + b</i> и <i>a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup></i> – целые?
Докажите, что для каждого<i> x </i>такого, что<i> sin x<img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_2.gif"> </i>0, найдется такое натуральное<i> n </i>, что<i> | sin nx| <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_3.gif"> <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_4.gif"> </i>.
Пусть многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>0</sub> имеет хотя бы один действительный корень и <i>a</i><sub>0</sub> ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи <i>P</i>(<i>x</i>), можно получить из него число <i>a</i><sub>0</sub> так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
Функции <i>f</i>(<i>x</i>) – <i>x</i> и <i>f</i>(<i>x</i>²) – <i>x</i><sup>6</sup> определены при всех положительных <i>x</i> и возрастают.
Докажите, что функция <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110122/problem_110122_img_2.gif"> также возрастает при всех положительных <i>x</i>.
Действительные числа <i>x</i> и <i>y</i> таковы, что для любых различных простых нечётных <i>p</i> и <i>q</i> число <i>x<sup>p</sup> + y<sup>q</sup> </i> рационально.
Докажите, что <i>x</i> и <i>y</i> – рациональные числа.
Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> удовлетворяют равенству <i>a</i>²<i>b</i>²(<i>a</i>²<i>b</i>² + 4) = 2(<i>a</i><sup>6</sup> + <i>b</i><sup>6</sup>). Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.
По данному натуральному числу <i>a</i><sub>0</sub> строится последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} следующим образом <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif"> если <i>a<sub>n</sub></i> нечётно, и <sup><i>a</i><sub>0</sub></sup>/<sub>2</sub>, если <i>a<sub>n</sub></i> чётно. Докажите, что при любом нечётном <i>a</i><sub>0</sub> > 5 в последовательности {<i>a<sub>n</sub></i>} встретятся сколь угодно большие числа.
Существует ли функция<i> f</i>(<i>x</i>), определенная при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>и для всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>удовлетворяющая неравенству <center><i>
|f</i>(<i>x+y</i>)<i>+ sin x+ sin y|<</i>2<i>? </i></center>
О функции<i> f</i>(<i>x</i>), заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом<i> a></i>1функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>ax</i>)непрерывна на всей прямой. Докажите, что<i> f</i>(<i>x</i>)также непрерывна на всей прямой.
Для каких<i> α </i>существует функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"> </i>, отличная от константы, такая, что <center><i>
f</i>(<i>α</i>(<i>x+y</i>))<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>y</i>)<i>;? </i></center>
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> имеет <i>n</i> различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?