Назад

Олимпиадная задача по математике: непрерывность функции одной переменной, 10-11 класс

Задача 209997 • Сложность: 3 • 10-11 класс
Задача

О функции f(x), заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a>1функция f(x)+f(ax)непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x)также непрерывна на всей прямой.

Авторы:
Голованов А. С.
Разделы:
Функции одной переменной. Непрерывность
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 1998-1999 Региональный этап
Количество версий:
4
Решение

Мы воспользуемся следующими свойствами непрерывных функций: (i)сумма и разность непрерывных функций – непрерывные функции; (ii)если g(x)– непрерывная функция, функция g(ax)также непрерывна. Теперь заметим, что по условию непрерывны функции f(x)+f(2x)и f(x)+f(4x), а в силу свойства(ii)вместе с функцией f(x)+f(2x)непрерывна и функция f(2x)+f(4x). Далее, по свойству(i)непрерывна функция

(f(x)+f(2x))+(f(x)+f(4x))-(f(2x)+f(4x))=2f(x),

а, значит, и функция f(x).

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет