Олимпиадная задача по стереометрии: максимальный объём пирамиды с квадратным основанием

Лемма: Из всех треугольников с заданными основанием и периметром наибольшую площадь (а значит, и высоту) имеет равнобедренный. Доказательство леммы: Пусть x , y и z – стороны треугольника, z – его заданная сторона, S – высота, p= – заданный полупериметр треугольника. По формуле Герона

S = = · = k,

где k= – фиксированная величина. Тогда

S =k k· = k· = kz,

причём равенство достигается, если p-x=p-y , т.е., если x=y , что и требовалось доказать. Пусть основание пирамиды PABCD – квадрат ABCD со стороной a , основание H высоты PH пирамиды лежит на диагонали AC основания, а периметр диагонального сечения APC равен 5. Тогда объём пирамиды максимален, если максимальна её высота PH , а т.к. периметр треугольника равен 5, то по лемме максимальную высоту имеет равнобедренный треугольник, значит, при фиксированном a , наибольший объём имеет пирамида, у которой AP=CP = .

Пусть V(a) – этот объём. Тогда

V(a) = AB2· PH = a2· = a2.

Найдём a при котором достигается наибольшее значение положительной функции f(a) = V2(a) = a4(5-2a)на луче(0; +):

f'(a) = (4a3(5-2a) - 2a4) = a3(-a).

Лучу(0; +)принадлежит единственная критическая точка a= этой функции, причём при переходе через эту точку производная меняет знак с "+" на "-". Следовательно, a= – точка максимума. Тогда и функция V(a)принимает в этой точке наибольшее значение, которое равно

V()= · 2 = .

.