Олимпиадные задачи по теме «Производная» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение   <i>х</i>⁴ – 4<i>х</i>³ + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0  имеет четыре различных действительных корня?

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Докажите, что если числа <i>x, y, z</i> при некоторых значениях <i>p</i> и <i>q</i> являются решениями системы

     <i>y = xⁿ + px + q,  z = yⁿ + py + q,  x = zⁿ + pz + q</i>,

то выполнено неравенство  <i>x</i>²<i>y + y</i>²<i>z + z</i>²<i>x ≥ x</i>²<i>z + y</i>²<i>x + z</i>²<i>y</i>.

Рассмотрите случаи   а)  <i>n</i> = 2;   б)  <i>n</i> = 2010.

Когда из бассейна сливают воду, уровень<i> h </i>воды в нём меняется в зависимости от времени<i> t </i>по закону <center><i>

h</i>(<i>t</i>)<i>=at²+bt+c,

</i></center> а в момент<i> t₀ </i>окончания слива выполнены равенства<i> h</i>(<i>t₀</i>)<i>=h'</i>(<i>t₀</i>)<i>=</i>0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

Квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что  <i>f</i> '(<i>x</i>)<i>g</i>'(<i>x</i>) ≥ |<i>f</i>(<i>x</i>)| + |<i>g</i>(<i>x</i>)|  при всех действительных <i>x</i>.

Докажите, что произведение <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Основание пирамиды – квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наибольший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна ^π/₂. Докажите, что  cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> имеет <i>n</i> различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?

Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.

</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.

Приведенные квадратные трёхчлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.

Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного <i>x</i> будет выполняться неравенство α<i>f</i>(<i>x</i>) + β<i>g</i>(<i>x</i>) > 0.

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Про непрерывную функцию<i>f</i>известно, что:<ol> <li><i>f</i> определена на всей числовой прямой; </li> <li><i>f</i> в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график <i>f</i> в каждой точке имеет единственную касательную); </li> <li>график функции <i>f</i> не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна. </li> </ol> Следует ли отсюда, что график <i>f</i> — прямая?

В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции<i>y</i>=<i>x</i>⁴, опускают вишенку — шар радиуса<i>r</i>. При каком наибольшем<i>r</i>шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус<i>r</i>круга, лежащего в области<i>y</i>$\ge$<i>x</i>⁴и содержащего начало координат?)

Доказать, что если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78003/problem_78003_img_2.gif">   то  <i>x</i>⁴ + <i>a</i>₁<i>x</i>³ + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x + a</i>₄  делится на  (<i>x – x</i>₀)².

К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \tan x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$.

На доске написана функция  sin $x$ + cos $x$.  Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных $x$ некоторой константе $c$. Чему может равняться $c$?

Пусть  <i>f</i>(<i>x</i>) – некоторый многочлен ненулевой степени.

Может ли оказаться, что уравнение  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>  при любом значении <i>a</i> имеет чётное число решений?

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.

Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

Пусть <i>a</i> – положительный корень уравнения  <i>x</i>²⁰¹⁷ – <i>x</i> – 1 = 0,  а <i>b</i> – положительный корень уравнения  <i>y</i>⁴⁰³⁴ – <i>y</i> = 3<i>a</i>.

  а) Сравните <i>a</i> и <i>b</i>.

  б) Найдите десятый знак после запятой числа  |<i>a – b</i>|.

Решите уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>f</i>(<i>x</i>),  если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66009/problem_66009_img_2.gif">

Решите уравнение  2 sin ^π<i>x</i>/₂ – 2 cos π<i>x = x</i>⁵ + 10<i>x</i> – 54.

На плоскости даны парабола  <i>y = x</i>²  и окружность, имеющие ровно две общие точки: <i>A</i> и <i>B</i>. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке <i>A</i> совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке <i>B</i> также совпадают?

Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. Каждую минуту Илья отрубает одну голову Змею. Пусть <i>x</i> – живучесть Змея  (<i>x</i> > 0).  Вероятность <i>p_s</i> того, что на месте отрубленной головы вырастет <i>s</i> новых голов  (<i>s</i> = 0, 1, 2),  равна  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65325/problem_65325_img_2.gif">  В течение первых 10 минут сражения Илья записывал, сколько голов вырастало на месте каждой срубленной. Получился следующий вектор:  <i>K</i> = (1, 2, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2).  Найдите такое значение живучести Змея, при котором вероятность вектора <i>K</i> наибольшая.