Задача
На плоскости даны парабола y = x² и окружность, имеющие ровно две общие точки: A и B. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке A совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке B также совпадают?
Решение
Вот контрпример. Рассмотрим окружность (x – a)² + (y – b)² – r² = 0, соответствующую условию для точек A(1, 1) и B(–3, 9) (такая окружность существует: её центр находится на пересечении нормали к параболе в точке A и серединного перпендикуляра к отрезку AB).
При подстановке y = x² в уравнение окружности мы получим уравнение 4-й степени, не содержащее члена 3-й степени, поэтому сумма корней этого уравнения равна нулю. Мы знаем три корня: x1,2 = 1 (в силу касания этот корень кратный), x3 = –3. Отсюда x4 = 1, то есть в точке B касания нет (корень x3 не кратный), и других точек пересечения также нет.
Ответ
Не обязательно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь