Решим сначала другую задачу: построим окружность с центром на оси y,
которая касается оси x и выясним, при каком наименьшем радиусе r она
имеет с кривой y = x4 общую точку,
отличную от начала координат
(рис.). Иначе говоря, при каком наименьшем r система
уравнений
y = x4, x2 + (y - r)2 = r2
имеет ненулевое решение. Интуитивно ясно, что эти задачи эквивалентны,
позже мы докажем это строго.
Подставим
y =
x4 в уравнение окружности.
Приведем подобные члены и сократим на
x2 (
x > 0):
x6 - 2rx2 + 1 = 0
Выразим
rчерез
x:
r(x) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \Bigl($x4 + $\displaystyle {\frac{1}{x^2}}$$\displaystyle \Bigr)$.
Искомое число
r0есть минимум этой функции. Производная функции равна
r'(x) = 2x3 - $\displaystyle {\frac{1}{x^3 }}$.
При
x> 0 эта производная ведет себя следующим образом: она отрицательна при
x<
x0=${\frac{1}{\sqrt[6]2}}$, равна нулю в точке
x0и положительна при
x>
x0. Значит,
r(
x) убывает при 0 <
x<
x0, достигает минимума при
x=
x0и возрастает при
x>
x0.
Итак, наименьшее
r, при котором окружность имеет общую точку с
кривой
y =
x4, —
r0 = r(x0) = $\displaystyle {\frac{3\sqrt[3]2}{4}}$.
Осталось показать, что это
r0дает ответ и в исходной задаче. Покажем,
сначала, что соответствующая вишенка целиком содержится в бокале.
Действительно, при любом
x$\ne$0 имеем
r0$\le$
r(
x). Подставляя
в это неравенство выражение для
r(
x), получаем, что при любом
x
x6 - 2r0x2 + 1$\displaystyle \ge$0.
Умножая обе части на
x2и подставляя
y=
x4, получим
x2 + (y - r0)2$\displaystyle \ge$r02
при всех
x,
y=
x4. Но это и значит, что вишенка находится в бокале.
Осталось показать, что если
r >
r0, то вишенка не коснется начала координат.
Действительно, в этом случае
x06 - 2rx02 + 1 < 0,
поэтому при
y0=
x04имеем
x02 + (y0 - r)2 < r2.
Это означает, что окружность радиуса
r, касающаяся оси абсцисс в начале
координат, пересекает график функции
y=
x4. Поэтому вишенка не касается
дна.
Комментарии.
1o. Нетрудно видеть, что "максимальная" вишенка касается кривой y = x4 в
начале координат и еще в двух точках.
2o. Аналогичную задачу можно решить для графика функции y = | x|a при любом
a. Для абсциссы точки касания "максимальной вишенки" получаем
уравнение
x2(a - 1) = ${\frac{a-2}{a}}$.
а) При a > 2 есть ненулевое решение, и ситуация такая же, как и при
a = 4;
б) при a = 2 получим x = 0 и r = 1/2 — радиус кривизны
графика в точке (0;0), — максимальная вишенка касается параболы
в единственной точке;
в) при 0 < a < 2 никакой круг не может коснуться "дна" графика.