Любая функция, полученная описанным способом, – многочлен от  sin $x$ и cos $x$  с целыми коэффициентами. Докажем это индукцией по числу шагов. База очевидна.

  Шаг индукции. Производная многочлена с целыми коэффициентами – многочлен с целыми коэффициентами; аналогичное верно для суммы и произведения. При  $x = 0$  синус и косинус принимают целые значения, поэтому значение многочлена от них с целыми коэффициентами – целое, то есть $c$ целое.   Положим  $f(x) = \sin x + \cos x$.  Запишем на доску  $f'(x) = \cos x - \sin x$,  $f''(x) = - \sin x - \cos x$,  $f'''(x) = - \cos x + \sin x$.  Тогда  $f^2(x) + f'^2(x)$ = 2,  $f(x)f''(x) + f'(x)f'''(x)$ = –2.  Суммируя такие функции, получаем все чётные константы.   Заметим, что  $ \sin x+\cos x = \sin x + \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 2\sin \frac{\pi}{4}\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.   Поэтому все функции, которые можно получить, – это многочлены от  $\sqrt{2}\cos (x - \frac{\pi}{4})$  и  $\sqrt{2}\sin (x - \frac{\pi}{4})$  с целыми коэффициентами и нулевым свободным членом. При  $x = \frac{\pi}{4}$  остаются лишь члены с косинусом (равным 1). Коэффициенты при чётных степенях косинуса чётны, а при нечётных либо иррациональны, либо равны нулю. Целочисленное значение получится, если сумма коэффициентов при нечётных степенях равна 0, но тогда значение чётно.

Любому чётному числу.