Олимпиадная задача: Свойства производной и графика непрерывной функции, 10-11 класс
Задача
Про непрерывную функциюfизвестно, что:
- f определена на всей числовой прямой;
- f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную касательную);
- график функции f не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна.
Решение
Пример:
f (x) = $\displaystyle \left{\vphantom{
2-x,\hbox{если }x\le 1;\
1/x,\hbox{если }x>1.
}\right.$2 - x,еслиx$\displaystyle \le$1;
(график этой функции изображен на рис.). Первое свойство
очевидно, второе свойство следует из того, что производные функций 2 -xи
1/xв точке 1 равны.
Докажем третье свойство. Очевидно, что если x рационально, то и f (x)
рационально. Пусть y = f (x) рационально. Тогда или x = 2 - y, или x = ${\frac{1}{y}}$.
В любом случае x рационально. Значит, рациональным x соответствуют
рациональные f (x) и наоборот.
1/x,еслиx > 1.
Ответ
Нет, не следует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет