Пусть  n = 2017.   а) Заметим, что  b > 1,  так как  b²ⁿ – b = 3a > 0.  Аналогично  a > 1.  Следовательно,  1 + a + a² > 3a,  так как это неравенство равносильно неравенству  (1 – a)² > 0.  Значит,  a²ⁿ – a = 1 + a + a² > 3a = b²ⁿ – b.  Поскольку функция  f(t) = t²ⁿ – t  строго возрастает при  t > 1  (при этих t

f'(t) = 2nt^2n–1 – 1 > 0),  то  a > b.   б) Согласно неравенству Бернулли (см. задачу 130899)  (1 + ¹/_n–1)ⁿ – 1 – ¹/_n–1 > ⁿ/_n–1 – ¹/_n–1 = 1 , а  aⁿ – a = 1.  В силу возрастания при  t > 1  функции  g(t) = tⁿ – t  справедливо неравенство  a < 1 + ¹/_n–1.

  Вычитая из равенства  a²ⁿ – a = 1 + a + a²  равенство b²ⁿ – b = 3a,  получим  a²ⁿ – b²ⁿ – (a – b) = (1 – a)² < ¹/_(n–1)².

  Поскольку  a²ⁿ – b²ⁿ = (a – b)(a^2n–1 + a^2n–2b + ... + ab^2n–2 + b^2n–1) > 2n(a – b),  то  (2n – 1)(a – b) ≤ a²ⁿ – b²ⁿ – (a – b) < ¹/_(n–1)².  Таким образом,     а значит, первые 10 знаков после запятой разности  a – b  равны нулю.

а)  a > b;   б) 0.