Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» - сложность 2 с решениями

Решите неравенство:  [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.

Решите уравнение  {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.

Бесконечная последовательность чисел <i>x_n</i> определяется условиями:   <i>x</i>_<i>n</i>+1 = 1 – |1 – 2<i>x_n</i>|,  причём  0 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 1.

Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда <i>x</i>₁ рационально.

В ряд выписаны действительные числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₉₉₆. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

{<i>a_n</i>} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за <i>x</i> идёт  1 – |1 – 2<i>x</i>|.

  а) Докажите, что если <i>a</i>₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.

  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то <i>a</i>₁ рационально.

Найти число решений в натуральных числах уравнения   [^<i>x</i>/₁₀] = [^<i>x</i>/₁₁] + 1.

а) Привести пример такого положительного <i>a</i>, что  {<i>a</i>} + {¹/_<i>a</i>} = 1.

б) Может ли такое <i>a</i> быть рациональным числом?

Найдите все значения <i>а</i>, для которых выражения   <i>а</i> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   и   ¹/_<i>а</i> – <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   принимают целые значения.

Последовательность натуральных чисел {<i>x_n</i>} строится по следующему правилу:  <i>x</i>₁ = 2,  ...,  <i>x_n</i> = [1,5<i>x</i>_<i>n</i>–1].

Доказать, что последовательность  <i>y_n</i> = (–1)<i>^x_n</i>  непериодическая.

Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на <i>q</i>² остаток получается меньше ^<i>q</i>²/₂, каково бы ни было <i>q</i>.

Перечислить все числа, обладающие этим свойством.

Решить уравнение  <i>x</i>³ – [<i>x</i>] = 3.

Доказать, что если  ^<i>p</i>/_<i>q</i> – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома  <i>f</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то  <i>p – kq</i>  есть делитель числа  <i>f</i>(<i>k</i>) при любом целом <i>k</i>.

Существует ли такое положительное число $x > 1$, что $${x} > {x^2} > {x^3} > \ldots > {x^{100}}?$$ (Здесь ${x}$ — дробная часть числа $x$, то есть разность между $x$ и ближайшим целым числом, не превосходящим $x$.)

На доску записали числа $1$, $2$, ..., $100$. Далее за ход стирают любые два числа $a$ и $b$, где $a\geqslant b>0$, и пишут вместо них одно число $[a/b]$. После $99$ ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что $[x]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через 3 часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через 4 часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?

Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)

Существуют ли нецелые числа <i>x</i> и <i>y</i>, для которых  {<i>x</i>}{<i>y</i>} = {<i>x + y</i>}?

Число <i>x</i> таково, что обе суммы  <i>S</i> = sin 64<i>x</i> + sin 65<i>x</i>  и  <i>C</i> = cos 64<i>x</i> + cos 65<i>x</i>  – рациональные числа.

Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.

Найдутся ли такие функции <i>p</i>(<i>x</i>) и <i>q</i>(<i>x</i>), что <i>p</i>(<i>x</i>) – чётная функция, а <i>p</i>(<i>q</i>(<i>x</i>)) – нечётная функция (отличная от тождественно нулевой)?

Существуют ли такие целые числа<i>a</i>и<i>b</i>, что   а) уравнение  <i>x</i>² +<i>ax + b</i>= 0  не имеет корней, а уравнение  [<i>x</i>²] +<i>ax + b</i>= 0 имеет?   б) уравнение  <i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>= 0  не имеет корней, а уравнение  [<i>x</i>²] + 2<i>ax + b</i>= 0  имеет?

Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  не имеющий корней, таков, что коэффициент <i>b</i> рационален, а среди чисел <i>c</i> и <i>f</i>(<i>c</i>) ровно одно иррационально.

Может ли дискриминант трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) быть рациональным?

У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65611/problem_65611_img_2.gif">

Известно, что  <i>а</i> > 1.  Обязательно ли имеет место равенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_2.gif"> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_3.gif">?

Назовём треугольник <i>рациональным</i>, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника <i>рациональной</i>, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.