Задача
Назовём треугольник рациональным, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника рациональной, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.
Решение
В неравнобедренном треугольнике подходят точка пересечения высот, точка пересечения биссектрис и центр описанной окружности (эти точки различны, так как сторона, лежащая против угла, отличного от 60°, видна из них под разными углами). В равнобедренном треугольнике подойдут любые три точки на высоте, из которых основание видно под "рациональными" углами (боковые стороны, ввиду симметрии, видны под равными углами, значит, и эти углы "рациональны").
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь