Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторная геометрия» для 11 класса - сложность 5 с решениями
Комбинаторная геометрия
НазадДана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров?
Дан выпуклый четырехугольник<i> ABCD </i>.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>,<i> D' </i>– ортоцентры треугольников<i> BCD </i>,<i> CDA </i>,<i> DAB </i>,<i> ABC </i>. Докажите, что в четырехугольниках<i> ABCD </i>и<i> A'B'C'D' </i>соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.
Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.
На плоскости дано конечное множество точек<i> X </i>и правильный треугольник<i> T </i>. Известно, что любое подмножество<i> X' </i>множества<i> X </i>, состоящее из не более9точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника<i> T </i>. Докажите, что все множество<i> X </i>можно покрыть двумя параллельными переносами<i> T </i>.
На плоскости даны два таких конечных набора<i> P<sub>1</sub> </i>и<i> P<sub>2</sub> </i>выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов<i> P<sub>1</sub> </i>и<i> P<sub>2</sub> </i>есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.
В квадрате<i> n</i>×<i>n </i>клеток бесконечной шахматной доски расположены<i> n<sup>2</sup> </i>фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через[<i><img src="/storage/problem-media/109694/problem_109694_img_2.gif"></i>]ходов.
Дан выпуклый<i> n </i>-угольник (<i> n></i>3), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.
Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника <i>m×n</i> числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
Докажите, что существует такое натуральное число<i> n </i>, что если правильный треугольник со стороной<i> n </i>разбить прямыми, параллельными его сторонам, на<i> n<sup>2</sup> </i>правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать1993<i>n </i>точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).
На плоскости дано<i> k </i>точек, расположенных так, что на каждой прямой, соединяющей две из этих точек, лежит по крайней мере ещё одна из них. Доказать, что все<i> k </i>точек лежат на одной прямой.
Прямоугольный лист бумаги размером<i>a</i>×<i>b</i>см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел<i>a</i>или<i>b</i>целое.
В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.
Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса<i>r</i>= 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.
Доказать, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников верно аналогичное утверждение?
Предлагается построить<i>N</i>точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек<i>M</i><sub><i>i</i></sub>и<i>M</i><sub><i>j</i></sub>, где<i>i</i>и<nobr><i>j</i> —</nobr>любые числа<nobr>от 1</nobr><nobr>до <i>N</i>.</nobr>Можно ли провести построение, если расстояния <i>r</i><sub><i>ij</i></sub> заданы так, что всякие 5 из <i>N</i> точек построить можно? б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из <nobr><i>N</i> точек?</nobr> в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а...
На бесконечном клетчатом листе белой бумаги<i>n</i>клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени<nobr><i>t</i> = 1,</nobr>2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка<i>k</i>приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки<i>k</i>и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то<i>k</i>становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени <nobr><i>t</i> = <i>n</i>.</nobr>
а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на <i>m</i> равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на <i>m</i>² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить <i>N</i> вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин <i>A</i> и <i>B</i> отрезок <i>АВ</i> не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение <i>N</i> (при заданном <i>m</i>)? б) Разделим каждое ребро тетраэдра на <i>m</i> равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим <i>N</i> вершин так, чтобы никакие...
Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа <i>a, b</i>, α и β, чтобы прямоугольник размером <i>a</i>×<i>b</i> можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером
а) 20×15; б) 5×8; в) 6,25×15; г) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73679/problem_73679_img_2.gif">
Какое наибольшее число точек можно разместить<nobr>a) на</nobr>плоскости;<nobr>б)* в</nobr>пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)
Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек<i>A</i><nobr>и <i>B</i></nobr>существует такая<nobr>точка <i>С</i></nobr>этого множества, что треугольник<i>ABC</i>равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?
На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём одинаковым количеством гвоздей? (Вбивать гвозди на границы кругов запрещено.)
На плоскости даны две замкнутые ломаные $a,b$ (возможно, самопересекающиеся) и точки $K$, $L$, $M$, $N$. Вершины ломаных и эти точки находятся в общем положении (т.е. никакие три из них не лежат на прямой и никакие три отрезка, их соединяющие, не имеют общей внутренней точки). Каждый из отрезков $KL$ и $MN$ пересекает ломаную $a$ в четном количестве точек, а каждый из отрезков $LM$ и $NK$ – в нечетном. Ломаная $b$, наоборот, пересекает каждый из отрезков $KL$ и $MN$ в нечетном количестве точек, а каждый из отрезков $LM$ и $NK$ – в четном. Докажите, что ломаные $a$ и $b$ пересекаются.