Пустьa_n— наибольшее число частей, на которые разбивают сферуnокружностей,b_n— наибольшее число частей, на которые разбивают пространствоnсфер. Ясно, чтоa₁= 2 иb₁= 2. Покажем, чтоa_n=a_{n - 1}+ 2(n- 1) иb_n=b_{n - 1}+a_{n - 1}. Прежде всего заметим, что число частей будет наибольшим в том случае, когда никакие три окружности не пересекаются в одной точке и, соответственно, никакие четыре сферы не пересекаются в одной точке и никакие три сферы не имеют общей окружности. Действительно, иначе число частей всегда можно увеличить, слегка пошевелив окружности (сферы). Пусть на сфере даноnокружностей, никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Фиксируем одну из них. Оставшиеся окружности разбивают сферу не более чем наa_{n - 1}частей, причём возможна конфигурация, когда они разбивают сферу наa_{n - 1}частей. Фиксированная окружность пересекает остальные окружности не более чем в 2n- 2 точках, причём случай, когда число точек пересечения равно 2n- 2, возможен. Точки пересечения разбивают фиксированную окружность на 2n- 2 частей; каждая их этих частей окружности добавляет одну новую часть разбиения сферы. Поэтомуa_n=a_{n - 1}+ 2(n- 1). Равенствоb_n=b_{n - 1}+a_{n - 1}доказывается аналогично. Таким образом,a₂= 4,a₃= 8,a₄= 14 иb₂= 4,b₃= 8,b₄= 16,b₅= 30.

На 30 частей.