Докажем, что большее количество точек разместить нельзя.

Заметим прежде всего (это относится и к плоской, и к пространственной задаче), что если A_i и A_j – какие-то две из n точек A₁ , A₂ , ... , A_n , удовлетворяющих условию задачи, то все эти точки должны принадлежать множеству таких точек M , для которых одновременно MA_i A_j 90^o и MA_j A_i 90^o . Это множество– полоса между прямыми (в пространстве– плоскостями), проходящими через точки A_i и A_j и перпендикулярными к отрезку A_i A_j (рис.3); мы будем ниже обозначать эту полосу через Π_ij .

Из этого замечания следует, что если рассмотреть выпуклую оболочку V данных n точек– наименьший выпуклый многоугольник (многогранник), содержащий все эти точки,– то все точки A₁, A₂, ..., A_n должны лежать на границе множества V ; ни одна из них не может оказаться внутри V : ведь V содержится в каждой из полос Π_ij .

Решение задачи а) получается теперь в два слова. В этом случае V – выпуклый n -угольник с вершинами A₁, A₂, ..., A_n . Сумма его углов равна 180^o (n-2), и если каждый из углов не больше 90^o , то

180^o (n-2) 90^o n,

n

Решение задачи на плоскости прислали многие читатели. Пространственная задача намного труднее, и полного доказательства мы не получили ни от кого из читателей. Приведем решение, которое впервые нашли известные геометры Л.Данцер и Б.Грюнбаум (1962 г.)

Рассмотрим, кроме многогранник V (здесь под V можно понимать или выпуклую оболочку заданных n точек A₁, A₂, ..., A_n или пересечение– общую часть– всех n(n-1)/2 полос Π_ij ) еще следующие многогранники: V_i , получающиеся из V сдвигом на вектор ( i=1, 2, ..., n ; V₁ , разумеется, совпадает с V ), и V' , получающийся из V растяжением (гомотетией) с коэффициентом 2 и центром в точке A₁ .

Докажем следующие три утверждения.

1^o . Многогранник, получающийся из V сдвигом на вектор , не имеет общих внутренних точек с V (т.е. может пересекаться с V только на границе).

2^o . Никакие два из многогранников V₁, V₂, ..., V_n не имеют общих внутренних точек.

3^o . Все V_i содержатся в V' .

Докажем 1^o . При сдвиге на полоса Π_ij переходит в новую полосу, которая не имеет с ней общих внутренних точек– эти две полосы имеют только общую граничную плоскость. Но V содержится в Π_ij , поэтому тем более верно1^o .

2^o сразу следует из 1^o достаточно заметить, что V_j получается из V_i сдвигом на вектор (рис.4).

3^o следует из более общего факта: если ABC – три точки выпуклого многогранника, W и W' – многогранник, полученный из W растяжением в 2 раза с центром я точке A , то четвертая вершина D параллелограмма ABDC (т.е. точка, получающаяся из C сдвигом на вектор ) принадлежит W' . Этот факт доказывается легко: точка K , из которой при растяжении получается D – середина отрезка AD – является одновременна и серединой отрезка BC , поэтому она принадлежит W (ведь многогранник W выпуклый), поэтому D принадлежит W' (рис.5).

Итак, утверждения 2^o и 3^o доказаны. Пусть v – объем многогранника V . Тогда объем каждого из V_i тоже равен v , а объем V' равен 8v . Из 2^o и 3^o , очевидно, следует, что nv 8v , откуда n 8.

Заметим, что попутно мы решили задачу, предлагавшуюся на XIII Международной олимпиаде (см. "Квант" #12 за 1971 год, стр.54. задача2) видимо, задачу M130 б) в полном объеме международное жюри сочло слишком трудной для олимпиады и исключило только вторую ее половину.

В связи с доказанным утверждением возникает целый ряд вопросов, которые уже не удается решить тем красивым, но довольно искусственным способом, о котором мы рассказали. Например, какое наибольшее число точек в пространстве можно разместить так, чтобы все углы треугольников с вершинами в этих точках были острыми? Из нашего решения видно, что 8 точек расположить нельзя (убедитесь в этом). Нетрудно построить пример, когда точек 5. Может ли их быть 6? Более общий и, вероятно, очень трудный вопрос– какое наибольшее число точек можно расположить так, чтобы все углы не превосходили данного α ?

Если кому-либо из читателей удастся продвинуться в решении этих вопросов, мы вернемся к ним еще раз.

Ответ: а)4точки, б)8точек. Примеры расположении такого количества точек а) в вершинах квадрата: б) в вершинах куба.