Олимпиадные задачи по теме «Аффинная геометрия» для 8 класса

На стороне <i>BC</i> и на продолжении стороны <i>AB</i> за вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> расположены точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно, причём  <i>BM</i> : <i>MC</i> = 4 : 5  и  <i>BK</i> : <i>AB</i> = 1 : 5.  Прямая <i>KM</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Найдите отношение  <i>CN</i> : <i>AN</i>.

Верно ли, что при любом <i>n</i> правильный 2<i>n</i>-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем  <i>n</i> + 2  грани?

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, противоположные стороны которого пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей <i>ABCD</i>.

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. (<i> Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника</i>.)

Пусть<i>L</i>— взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, что<i>L</i> — аффинное преобразование.

Пусть<i>L</i>— взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогда<i>L</i> — аффинное преобразование.

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.

На плоскости даны три вектора<b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>, причем$\alpha$<b>a</b>+$\beta$<b>b</b>+$\gamma$<b>c</b>= 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |$\alpha$|, |$\beta$|, |$\gamma$| можно составить треугольник.

Докажите, что любой выпуклый шестиугольник<i>ABCDEF</i>, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналями<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>.

Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.

Докажите, что если <i>M'</i>и <i>N'</i> — образы многоугольников <i>M</i>и <i>N</i>при аффинном преобразовании, то отношение площадей <i>M</i>и <i>N</i>равно отношению площадей <i>M'</i>и <i>N'</i>.

Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

На плоскости дан многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nи точка<i>O</i>внутри его. Докажите, что равенства<div align="CENTER"><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER">$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$,</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT">    </td></tr> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"> 1$\displaystyle \overrightarrow{OA...

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании <i>L</i>каждая точка некоторой прямой <i>l</i>переходит в себя, то все прямые вида<i>ML</i>(<i>M</i>), где в качестве <i>M</i>берутся произвольные точки, не лежащие на прямой <i>l</i>, параллельны друг другу.

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.

а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку <i>O</i>в данную точку <i>O'</i>, а данный базис векторов <b>e</b>₁,<b>e</b>₂ — в данный базис <b>e</b>₁',<b>e</b>₂'. б) Даны два треугольника<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку <i>A</i>в <i>A</i>₁,<i>B</i> — в <i>B</i>₁,<i&...

Пусть <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i> — образы точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>при аффинном преобразовании <i>L</i>. Докажите, что если <i>C</i>делит отрезок<i>AB</i>в отношении<i>AC</i>:<i>CB</i>=<i>p</i>:<i>q</i>, то <i>C'</i>делит отрезок<i>A'B'</i>в том же отношении.

Докажите, что если <i>L</i> — аффинное преобразование, то а)<i>L</i>($\overrightarrow{0}$) =$\overrightarrow{0}$; б)<i>L</i>(<b>a</b>+<b>b</b>) =<i>L</i>(<b>a</b>) +<i>L</i>(<b>b</b>); в)<i>L</i>(<i>k</i><b>a</b>) =<i>kL</i>(<b>a</b>).

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁ — образы точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>при аффинном преобразовании. Докажите, что если$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$, то$\overrightarrow{A_1B_1}$=$\overrightarrow{C_1D_1}$.

Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.

Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.