Олимпиадные задачи по теме «Модуль числа» для 11 класса

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть <i>l</i> – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка <i>I</i>, параллельного <i>l</i>, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число <i>C</i> (зависящее только от прямой <i>l</i>) такое, что все полученные разности не превосходят <i>C</i>.

Квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что  <i>f</i> '(<i>x</i>)<i>g</i>'(<i>x</i>) ≥ |<i>f</i>(<i>x</i>)| + |<i>g</i>(<i>x</i>)|  при всех действительных <i>x</i>.

Докажите, что произведение <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Даны числа<i>а</i>₁, ...,<i>а_n</i>. Для 1 ≤<i>i</i>≤<i>n</i>положим

<center>

<i>d_i</i> = MAX { <i>a_j</i> | 1 ≤ <i>j</i> ≤ <i>i</i> } - MIN { <i>a_j</i> | <i>i</i> ≤ <i>j</i> ≤ <i>n</i> }

<i>d</i> = MAX { <i>dⁱ</i> | 1 ≤ <i>i</i> ≤ <i>n</i> } </center> а) Доказать, что для любых<i>x</i>₁≤<i>x</i>₂≤ ... ≤<i>x</i>_nвыполняется неравенство

<center&g...

Положительные числа <i>x, y, z</i> таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.

Докажите, что &nbsp<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_2.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_3.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_4.gif"> > <i>x + y + z</i>.

Существует ли функция<i> f</i>(<i>x</i>), определенная при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>и для всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/110035/problem_110035_img_3.gif"> </i>удовлетворяющая неравенству <center><i>

|f</i>(<i>x+y</i>)<i>+ sin x+ sin y|<</i>2<i>? </i></center>

Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i> = | </i>4<i> - </i>4<i>|x|| - </i>2. Сколько решений имеет уравнение<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i> = x </i>?

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение <center><i>

|x-a₁|+..+|x-a</i>50<i>|=|x-b₁|+..+|x-b</i>50<i>|,

</i></center> где<i> a₁ </i>,<i> a₂ </i>,<i> a</i>50,<i> b₁ </i>,<i> b₂ </i>,<i> b</i>50– различные числа?

Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 250. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 250. Какие значения при этих условиях может принимать величина<i>n</i>²<i>d</i>, где<i>d</i>- разность прогрессии, а<i>n</i>- число ее членов?

Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина<i>n</i>²<i>d</i>, где<i>d</i>- разность прогрессии, а<i>n</i>- число ее членов?

По заданной последовательности положительных чисел  <i>q</i>₁,..., <i>q_n</i>, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:

    <i>f</i>₀(<i>x</i>) = 1,

    <i>f</i>₁(<i>x</i>) = <i>x</i>,

      ...

    <i>f</i>_<i>n</i>+1(<i>x</i>) = (1 + <i>q_n</i>)<i>xf_n</i>(<i>x</i>) – <i>q_nf</i>_<i>n</i>–1(<i>x</i>).

Докажите, что все вещественные корни <i>n</i>-го мног...

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1. Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

<i>X</i> – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа:   1, <i>X, X</i>², <i>X</i>³, <i>X</i>⁴, ..., <i>X^k</i> (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть   в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \left\vert\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right.$$\displaystyle {\frac{x-y}{1-xy}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right\vert$ < 1, </div>если |<i>x</i>| < 1 и |<i>y</i>| < 1.

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство  |<i>x| + |y</i>| < 100?

Решить уравнение:<div align="CENTER"> | <i>x</i> + 1| - | <i>x</i>| + 3| <i>x</i> - 1| - 2| <i>x</i> - 2| = <i>x</i> + 2. </div>

Петя и Вася играют на отрезке $[0; 1]$, в котором отмечены точки $0$ и $1$. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?

Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_<i>a</i> – ¹/_<i>b</i>| ≤ $k$?

На улице <i>n</i> домов. Каждый день почтальон идёт на почту, берёт там письма для жителей одного дома и разносит их. Затем он возвращается на почту, берёт письма для жителей другого дома и снова их разносит. И так он обходит все дома. В каком месте нужно построить почту, чтобы почтальону пришлось проходить наименьшее расстояние? Улицу можно считать отрезком прямой.

  а) Решите задачу для  <i>n</i> = 5.

  б) Решите задачу для  <i>n</i> = 6.

  в) Решите задачу для произвольного <i>n</i>.

Дан числовой набор <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>. Рассмотрим функцию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_2.png">.

  а) Верно ли, что функция <i>d</i>(<i>t</i>) принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>?

  б) Сравните значения <i>d</i>(<i>c</i>) и <i>d</i>(<i>m</i>), где  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_3.png">,  а <i>m</i> – медиана указанного набора.

В сейфе <i>n</i> ячеек с номерами от 1 до <i>n</i>. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в <i>i</i>-й ячейке оказалась карточка с числом <i>a_i</i>. Петя может менять местами любые две карточки с номерами <i>x</i> и <i>y</i>, платя за это  2|<i>x – y</i>|  рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более  |<i>a</i>₁ – 1| + |<i>a</i>₂ – 2| + ... + |<i>a_n – n</i>|  рублей.

Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?