Докажем, что для любых трёх ненулевых чисел  $a < b < c$  одна из шести разностей  $b$ – $a$,  $c$ – $b$,  $c$ – $a$,  $|\frac{1}{a}$ – $\frac{1}{b}|$,  $|\frac{1}{b}$ – $\frac{1}{c}|$,  $|\frac{1}{a}$ – $\frac{1}{c}|$  не превосходит 1,5. Не умаляя общности, хотя бы два числа положительны.   Способ 1. Предположим противное. Заменой всех чисел на обратные к ним можно добиться того, чтобы наименьшее число $a$ было не меньше –1. Тогда среднее число  $b$ > 0,5,

а наибольшее  $c$ > 2.  При этом   $\frac{1}{b} - \frac{1}{c} > \frac{3}{2}$.  Значит,  $b$ < ⅔ < 1  и  $a$ < 0.  Получаем систему неравенств  $-a > \frac{3}{2}-b$,  $- \frac{1}{a} > \frac{3}{2} - \frac{1}{c} > 3 - \frac{1}{b}$.   Перемножив, получим  $1 > (\frac{3}{2}-b)(3 - \frac{1}{b})$,  то есть  $2b > (3 - 2b)(3b - 1)$.  Раскрыв скобки и перенеся всё в левую часть, получим  $6b^2 - 9b$ + 3 > 0,  то есть  $(b-1)(2b-1) > 0$.  Противоречие.   Способ 2. Разберём возможные случаи.

  1)  $a$ > 0.  Если  $b$ ≤ 1,  то  $b - a$ < 1;  если  $b > 1$,  то  $\frac{1}{b} - \frac{1}{c}$ < 1.

  2)  $a$ < 0.  Можно считать, что  $bc$ ≤ 1  (иначе заменим все числа на обратные). Пусть  $b - a$ > 1,5  и  $c - b$ > 1,5.  Тогда  $b(b + 1,5) < bc$ ≤ 1 = 0,5(0,5 + 1,5).  Значит,  $b$ < 0,5.

  Следовательно,  $\frac{1}{c} - \frac{1}{a} < \frac{1}{1,5 + b} + \frac{1}{1,5 - b} = \frac{3}{2,25 - b^2} < \frac{3}{2,25 - 0,25} = \frac{3}{2}.$

При  $k$ = 1,5.