Олимпиадная задача по выпуклому анализу и модулю числа, 10

Задача

Даны числаа₁, ...,а_n. Для 1 ≤i≤nположим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }

d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любыхx₁≤x₂≤ ... ≤x_nвыполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i}i=1...n

Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

Решение. 1. Заметим, что функция |x - R| кусочно линейна, точка нелинейности приx = R. Кроме того, в процессе движения по параметру максимум/минимум линейной функции достигается на границе. Таким образом, задача сводится к случаю, когдаx_i = a_j(i), а такой случай проверяется непосредственно.

Предположим противное |x_i-a_i| <d/2 для любогоiот 1 доn Заметим, чтоd_i=a_k-a_lдля некоторых 1 ≤k≤iиi≤l≤n Теперьd_i= (a_k - x_a) + (x_k - x_a) + (x_l - a_l) ≤ |a_k - x_k| + |x_l - a_l| <d

Следовательно,d= MAXd_i<d- противоречие.

Для п.б) положимx_i= MAX {a_i| 1 ≤i≤n} -d/2.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Олимпиадная задача по математике для 10–11 классов: выпуклый анализ, Канель-Белов

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления