Обозначим сумму модулей членов арифметической прогрессии черезS. Покажем, что величинаS/(n²d) является постоянной для прогрессий, удовлетворяющих условию задачи, и равна 1/4, если данная прогрессияa₁,a₂, … ,a_n, для определённости, возрастает (для убывающей прогрессии эта величина равна -1/4). Из условия задачи следует, что функция S(x) = |x-a₁| + |x-a₂| + … + |x-a_n| принимает в трёх различных точках одинаковые значения. Так как то приx≤a_{i + 1}иi<n/2 эта функция убывает, приa_i≤x≤a_{i + 1}иi=n/2 - постоянна, а приx≥a_iиi>n/2 - возрастает. Следовательно, условие задачи может выполняться только, когда числоn= 2kчётно и

±400.