Задача
Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?
Решение
Рассмотрим квадратные трёхчлены fn(x) = (x – 4n)2 – 1 (n = 1, 2, 3, ...). Очевидно, каждый из них имеет два действительных корня. 4n – 4m ≥ 4 при n > m, значит, при любом x либо |x – 4m|, либо |x – 4n| не меньше 2. Поэтому fm(x) + fn(x) = (x – 4m)² + (x – 4n)² – 2 ≥ 2 > 0, то есть квадратный трёхчлен
fm(x) + fn(x) принимает только положительные значения.
Ответ
Существуют.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет