Олимпиадные задачи по теме «Дроби» для 10 класса - сложность 3 с решениями

На доске написано натуральное число. Если на доске написано число <i>x</i>, то можно дописать на нее число  2<i>x</i> + 1  или ^<i>x</i>/_<i>x</i>+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.

В бесконечной последовательности  (<i>x_n</i>)  первый член <i>x</i>₁ – рациональное число, большее 1, и  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> + ¹/_{[<i>x_n</i>]}  при всех натуральных <i>n</i>.

Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Даны положительные рациональные числа <i>a, b</i>. Один из корней трёхчлена  <i>x</i>² – <i>ax + b</i>  – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид  ^<i>m</i>/_<i>n</i>.  Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел <i>a</i> и <i>b</i> (в несократимой записи) не меньше <i>n</i>^2/3.

Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа <i>k</i>, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем <i>k</i> существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?

Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены <i>запрещёнными</i>. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом <i>T</i>.

Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше <i>T</i>.

Назовём натуральные числа <i>похожими</i>, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.

Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй – на треть, третий – на четверть, четвёртый – на &frac15;, пятый – на &frac18;, шестой – на ¹/₉, и седьмой – на ¹/₁₀. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным   а) на ¹/₁₂;   б) на &frac16;?

В числе  <i>a</i> = 0,12457...  <i>n</i>-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109196/problem_109196_img_2.gif">  Докажите, что α – иррациональное число.

Рассматривается последовательность, <i>n</i>-й член которой есть первая цифра числа 2^<i>n</i>.

Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.

На доске выписаны числа 1, ½, &frac13;, ..., ¹/₁₀₀. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа <i>a</i> и <i>b</i>, стираем их и пишем на доску число

<i>a + b + ab</i>.  Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.

Сколько существует таких пар натуральных чисел  (<i>m, n</i>),  каждое из которых не превышает 1000, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98049/problem_98049_img_2.gif">

Прибор для сравнения чисел  log<i>_ab</i>  и  log<i>_cd</i>  (<i>a, b, c, d</i> > 1)  работает по правилам: если  <i>b > a</i>  и  <i>d > c</i>,  то он переходит к сравнению чисел  log<i>_a^b</i>/_<i>a</i>  и  log<i>_c^d</i>/_<i>c</i>  если  <i>b < a</i>  и  <i>d < c</i>,  то он переходит к сравнению чисел  log<i>_dc</i>  и  log<i>_ba</i>;  если  (<i>b − a</i>)(<i>d − c</i>) ≤ 0,  т...

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с третьего знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0, 01). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?

Вычислить с пятью десятичными знаками (то есть с точностью до 0,00001) произведение:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/76542/problem_76542_img_2.gif">

Петя загадал положительную несократимую дробь $x = \frac{m}{n}$. Можно назвать положительную дробь $y$, меньшую 1, и Петя назовёт числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как за два таких действия гарантированно узнать $x$?

Существует ли число, которое может быть представлено в виде $\frac1n + \frac1m$, где $m$ и $n$ натуральные, не менее чем ста способами? Ответ объясните.

Дано натуральное число $n > 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую)<i>хорошей</i>, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число. Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.

Имеется натуральное 1001-значное число $A$. 1001-значное число $Z$ – то же число $A$, записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что $A > Z$. При каком $A$ частное $A/Z$ будет наименьшим (но строго больше 1)?

Существуют ли такие 2018 положительных несократимых дробей с различными натуральными знаменателями, что знаменатель разности каждых двух из них (после приведения к несократимому виду) меньше знаменателя любой из исходных 2018 дробей?

Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>a</i>₄, ... есть числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65407/problem_65407_img_2.gif">

Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.

Пусть  <i>n</i> > 1  – натуральное число. Выпишем дроби  ¹/_<i>n</i>, ²/_<i>n</i>, ..., ^<i>n</i>–1/_<i>n</i>  и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через  <i>f</i>(<i>n</i>). При каких натуральных  <i>n</i> > 1  числа  <i>f</i>(<i>n</i>) и  <i>f</i>(2015<i>n</i>) имеют разную чётность?

Положительные рациональные числа <i>a</i> и <i>b</i> записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа  <i>a – b</i>  длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном <i>k</i> длина минимального периода десятичной записи числа  <i>a + kb</i>  может также оказаться равной 15?