Олимпиадная задача Фомина Д. на инварианты с дробями для 8–10 классов
Задача
На доске выписаны числа 1, ½, ⅓, ..., 1/100. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число
a + b + ab. Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.
Решение
Если a1,a2, ...,an – числа, написанные на доске, то величина (1 +a1)(1 +a2)...(1 +an) не изменяется при допустимой операции. Действительно, еслиaиbзаменяются на a + b + ab, то множители, не содержащиеaиb, не изменяются, а произведение (1 +a)(1 +b) заменяется на равное ему число 1 +a + b + ab. Значит, последнее число на доске равно (1 +1/1)(1 + ½)...(1 +1/100) – 1 =2/1·3/2·...·101/100– 1 = 101 – 1 = 100.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь