Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 8 класса - сложность 2 с решениями

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116928/problem_116928_img_2.gif">.

Шесть кружков последовательно соединили отрезками. На каждом отрезке записали некоторое число, а в каждом кружке – сумму двух чисел, записанных на входящих в него отрезках. После этого стёрли все числа на отрезках и в одном из кружков (см. рис.). Можно ли найти число, стёртое в кружке?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116854/problem_116854_img_2.gif"></div>

Пусть <i>a, b, c, d, e</i> и <i>f</i> – некоторые числа, причём  <i>ace</i> ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |<i>ax + b</i>| + |<i>cx + d</i>|  и  |<i>ex + f</i> |  равны при всех значениях <i>x</i>.

Докажите, что  <i>ad = bc</i>.

Известно, что уравнение  <i>ax</i>⁵ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0  имеет три различных корня. Докажите, что уравнение  <i>cx</i>⁵ + <i>bx + a</i> = 0  также имеет три различных корня.

Найти все действительные решения системы уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,

    <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = 1.

Решить систему уравнений:

   <i>x</i>₁ + 12<i>x</i>₂ = 15,

   <i>x</i>₁ – 12<i>x</i>₂ + 11<i>x</i>₃ = 2,

   <i>x</i>₁ – 11<i>x</i>₃ + 10<i>x</i>₄ = 2,

   <i>x</i>₁ – 10<i>x</i>₄ + 9<i>x</i>₅ = 2,

   <i>x</i>₁ – 9<i>x</i>₅ + 8<i>x</i>₆ = 2,

   <i>x</i>₁ – 8&...

Решить систему уравнений с <i>n</i> неизвестными   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108979/problem_108979_img_2.gif">

На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера?

Решите уравнение  (<i>x</i> + 1)⁶³ + (<i>x</i> + 1)⁶²(<i>x</i> – 1) + (<i>x</i> + 1)⁶¹(<i>x</i> – 1)² + ... + (<i>x</i> – 1)⁶³ = 0.

Решите систему уравнений:

    <i>xy</i>(<i>x + y</i>) = 30

    <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 35.

Решите систему уравнений:

    ¹/_<i>x</i> + ¹/_<i>y</i> = 6,

    ¹/_<i>y</i> + ¹/_<i>z</i> = 4,

    ¹/_<i>z</i> + ¹/_<i>x</i> = 5.

Найдите все действительные корни уравнения   (<i>x</i> + 1)²¹ + (<i>x</i> + 1)²⁰(<i>x</i> – 1) + (<i>x</i> + 1)¹⁹(<i>x</i> – 1)² + ... + (<i>x</i> – 1)²¹ = 0.

У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных.

В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.

Решите систему уравнений:

   (<i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅)⁵ = 3<i>x</i>₁,

   (<i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ + <i>x</i>₁)⁵ = 3<i>x</i>₂,

   (<i>x</i>₅ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)⁵ = 3<i>x</i>₃,

   (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i&g...

Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася – пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?

Найти все решения системы уравнений:   (<i>x + y</i>)³ = <i>z</i>,  (<i>y + z</i>)³ = <i>x</i>,  (<i>z + x</i>)³ = <i>y</i>.

Решите систему уравнений:     1 –<i>x</i>₁<i>x</i>₂= 0,     1 –<i>x</i>₂<i>x</i>₃= 0,     ...     1 –<i>x</i>₂₀₀₀<i>x</i>₂₀₀₁= 0,     1 –<i>x</i>₂₀₀₁<i>x</i>₁= 0.

На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить озеро за 1 день, а стадо из 37 слонов – за 5 дней.

За сколько дней выпьет озеро один слон?

Найти все значения <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству  (<i>x − y + z</i>)² = <i>x</i>² − <i>y</i>² + <i>z</i>².

Даны пять различных положительных чисел, которые можно разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были одинаковыми. Сколькими способами это можно сделать?

Найти все действительные решения уравнения с четырьмя неизвестными:   <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>t</i>² = <i>x</i>(<i>y + z + t</i>).

Имеется система уравнений     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.

Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.