Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 7 класса
Алгебраические уравнения и системы уравнений
НазадКоля и Вася за ноябрь получили по 15 оценок: тройки, четвёрки и пятёрки. При этом Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, а троек столько же, сколько Вася пятёрок. Оказалось, что средний балл за ноябрь у мальчиков одинаковый. Сколько троек получил Коля в ноябре?
Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?
Известно, что уравнение <i>ax</i><sup>5</sup> + <i>bx</i><sup>4</sup> + <i>c</i> = 0 имеет три различных корня. Докажите, что уравнение <i>cx</i><sup>5</sup> + <i>bx + a</i> = 0 также имеет три различных корня.
Решить систему уравнений:
<i>x</i><sub>1</sub> + 12<i>x</i><sub>2</sub> = 15,
<i>x</i><sub>1</sub> – 12<i>x</i><sub>2</sub> + 11<i>x</i><sub>3</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> – 11<i>x</i><sub>3</sub> + 10<i>x</i><sub>4</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> – 10<i>x</i><sub>4</sub> + 9<i>x</i><sub>5</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> – 9<i>x</i><sub>5</sub> + 8<i>x</i><sub>6</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> – 8&...
Решить систему уравнений с <i>n</i> неизвестными <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108979/problem_108979_img_2.gif">
На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера?
Решите уравнение (<i>x</i> + 1)<sup>63</sup> + (<i>x</i> + 1)<sup>62</sup>(<i>x</i> – 1) + (<i>x</i> + 1)<sup>61</sup>(<i>x</i> – 1)² + ... + (<i>x</i> – 1)<sup>63</sup> = 0.
Купец продаёт двух коней с сёдлами, причём цена одного седла 120 рублей, а другого – 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого с дешёвым, а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешёвым. Какова цена каждого коня?
Карлсон написал дробь <sup>10</sup>/<sub>97</sub>. Малыш может:
1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,
2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,
а) равную ½? б) равную 1?
Решите систему уравнений:
<i>xy</i>(<i>x + y</i>) = 30
<i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 35.
Решите систему уравнений:
<sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> = 6,
<sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>z</i></sub> = 4,
<sup>1</sup>/<sub><i>z</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> = 5.
Решить уравнение [<i>x</i>³] + [<i>x</i>²] + [<i>x</i>] = {<i>x</i>} − 1.
Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.
Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них <i>a</i> человек считают, что будет лучше, <i>b</i> – что будет такой же, и <i>c</i> – что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных: <i>m = a + <sup>b</sup></i>/<sub>2</sub> и <i>n = a – c</i>. Оказалось, что <i>m</i> = 40. Найдите <i>n</i>.
У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных.
В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.
Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася – пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?
Решить уравнение <i>x</i><sup>8</sup> + 4<i>x</i><sup>4</sup> + <i>x</i>² + 1 = 0.
Расшифруйте ребус: <img src="/storage/problem-media/88259/problem_88259_img_2.gif">
Найдите два числа, разность и частное которых были бы равны 5.
В одной американской фирме каждый служащий является либо демократом, либо республиканцем. После того как один из республиканцев решил стать демократом, тех и других в фирме стало поровну. Затем ещё три республиканца решили стать демократами, и тогда демократов стало вдвое больше чем республиканцев. Сколько служащих в этой фирме?
Найдите два числа, сумма, произведение и частное которых равны между собой.
Может ли сумма трёх различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?
Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой кошке досталось 5 галет, а каждой собаке — 6. Сколько было собак и сколько кошек?
Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось 20 лет. По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов команды.
– Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, – сказал рулевой.
– А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машиниста, – заметил боцман. – Кроме того, я на 4 года старше матроса.
– Средний возраст команды – 28 лет, – дал справку капитан.
Сколько лет капитану?