Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Алгебраические уравнения и системы уравнений
НазадНайдите все неотрицательные решения системы уравнений:
<i>x</i>³ = 2<i>y</i>² – <i>z</i>,
<i>y</i>³ = 2<i>z</i>² – <i>x</i>,
<i>z</i>³ = 2<i>x</i>² – <i>y</i>.
Решите уравнение {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.
Известно, что уравнение <i>ax</i><sup>5</sup> + <i>bx</i><sup>4</sup> + <i>c</i> = 0 имеет три различных корня. Докажите, что уравнение <i>cx</i><sup>5</sup> + <i>bx + a</i> = 0 также имеет три различных корня.
Найти все действительные решения системы уравнений
<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,
<i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = 1.
Пусть <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + 12<i>x</i> + 30. Решите уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))))) = 0.
Решите систему уравнений:
<i>x</i>² + 4sin²<i>y</i> – 4 = 0,
cos <i>x</i> – 2cos²<i>y</i> – 1 = 0.
Решите систему уравнений:
(<i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub>)<sup>5</sup> = 3<i>x</i><sub>1</sub>,
(<i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>1</sub>)<sup>5</sup> = 3<i>x</i><sub>2</sub>,
(<i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub>)<sup>5</sup> = 3<i>x</i><sub>3</sub>,
(<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i&g...
Найти все решения системы уравнений: (<i>x + y</i>)³ = <i>z</i>, (<i>y + z</i>)³ = <i>x</i>, (<i>z + x</i>)³ = <i>y</i>.
Решите систему уравнений: 1 –<i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>= 0, 1 –<i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub>= 0, ... 1 –<i>x</i><sub>2000</sub><i>x</i><sub>2001</sub>= 0, 1 –<i>x</i><sub>2001</sub><i>x</i><sub>1</sub>= 0.
Найти все действительные решения уравнения с четырьмя неизвестными: <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>t</i>² = <i>x</i>(<i>y + z + t</i>).
Решить уравнение <i>x</i>³ – [<i>x</i>] = 3.
Дано уравнение <i>x<sup>n</sup> – a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> – <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–2</sup> – ... – <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x – a<sub>n</sub></i> = 0, где <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>a<sub>n</sub></i> ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.
Найти все действительные решения системы
<i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 1,
<i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> = 1.
Дано 100 чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a</i><sub>100</sub>, удовлетворяющих условиям:
<i>a</i><sub>1</sub> – 4<i>a</i><sub>2</sub> + 3<i>a</i><sub>3</sub> ≥ 0,
<i>a</i><sub>2</sub> – 4<i>a</i><sub>3</sub> + 3<i>a</i><sub>4</sub> ≥ 0,
<i>a</i><sub>3</sub> – 4<i>a</i><sub>4</sub> + 3<i>a</i><sub>5</sub> ≥ 0,
...,
<i>a</i><sub>99</sub> – 4<i>a</i><sub>100</sub> +...
Дано 100 чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a</i><sub>100</sub>, удовлетворяющих условиям:
<i>a</i><sub>1</sub> – 3<i>a</i><sub>2</sub> + 2<i>a</i><sub>3</sub> ≥ 0,
<i>a</i><sub>2</sub> – 3<i>a</i><sub>3</sub> + 2<i>a</i><sub>4</sub> ≥ 0,
<i>a</i><sub>3</sub> – 3<i>a</i><sub>4</sub> + 2<i>a</i><sub>5</sub> ≥ 0,
...,
<i>a</i><sub>99</sub> – 3<i>a</i><sub>100</sub> +...
Решить систему уравнений: <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> = <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> = ... = <i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x<sub>n</sub> = x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 1.
Система уравнений второго порядка
<i>x</i>² – <i>y</i>² = 0,
(<i>x – a</i>)² + <i>y</i>² = 1
имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях <i>a</i> число решений системы уменьшается до трёх или до двух?
Решить систему уравнений:
3<i>xyz – x</i>³ – <i>y</i>³ – <i>z</i>³ = <i>b</i>³,
<i>x + y + z</i> = 2<i>b</i>,
<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>b</i>².
Решить систему:
<i>x + y + z = a,
x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,
<i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.
Решить систему уравнений:
<i>x + y = a,
x</i><sup>5</sup> + <i>y</i><sup>5</sup> = <i>b</i><sup>5</sup>.
Решить систему уравнений:
<i>x</i>³ – <i>y</i>³ = 26,
<i>x</i>²<i>y – xy</i>² = 6.
Решить систему уравнений:
<i>x</i>² + <i>y</i>² – 2<i>z</i>² = 2<i>a</i>²,
<i>x + y</i> + 2<i>z</i> = 4(<i>a</i>² + 1),
<i>z</i>² – <i>xy</i> = <i>a</i>².
Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.
Учительница продиктовала Вовочке угловые коэффициенты и свободные члены трёх разных линейных функций, графики которых параллельны. Невнимательный Вовочка при записи каждой из функций поменял местами угловой коэффициент и свободный член и построил графики получившихся функций. Сколько могло получиться точек, через которые проходят хотя бы два графика?
Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.