Олимпиадные задачи по математике - сложность 1-5 с решениями
В параллелограмме <i>ABCD</i> опустили перпендикуляр <i>BH</i> на сторону <i>AD</i>. На отрезке <i>BH</i> отметили точку <i>M</i>, равноудалённую от точек <i>C</i> и <i>D</i>. Пусть точка <i>K</i> – середина стороны <i>AB</i>. Докажите, что угол <i>MKD</i> прямой.
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, точка <i>P</i> лежит на стороне <i>BC</i>. Отрезок <i>AP</i> пересекает <i>BM</i> в точке <i>O</i>. Оказалось, что <i>BO = BP</i>. Найдите отношение <i>OM</i> : <i>PC</i>.
Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины боковых сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>M</i> на диагональ <i>AC</i>, и перпендикуляр, опущенный из точки <i>N</i> на диагональ <i>BD</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что <i>PA = PD</i>.
Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?
Дан произвольный треугольник <i>ABC</i>. Постройте прямую, проходящую через вершину <i>B</i> и делящую его на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны.
Hа сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>C</i>', <i>A</i>' и <i>B</i>' соответственно так, что угол <i>A</i>'<i>C</i>'<i>B</i>' — прямой. Докажите, что отрезок <i>A</i>'<i>B</i>' длиннее диаметра вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу.
Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.
Cередины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Oказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.
Дан четырёхугольник <i>ABCD. A', B', C'</i> и <i>D'</i> – середины сторон <i>BC, CD, DA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что <i>AA' = CC'</i> и <i>BB'</i> = <i>DD'</i>.
Bерно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что <i>S<sub>KMC</sub> + S<sub>KAC</sub> = S<sub>ABC</sub></i>.
Докажите, что все такие прямые <i>MK</i> проходят через одну точку.
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i>. <i>H</i> – точка пересечения высот. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> и соответственно так, что ∠<i>KMH</i> = 90°. Докажите, что из отрезков <i>AK</i>, <i>CM</i> и <i>MK</i> можно сложить прямоугольный треугольник.
Даны две пересекающиеся окружности с центрами <i>O</i><sub>1</sub>, <i>O</i><sub>2</sub>. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub> на наибольшее расстояние.
В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AA', BB'</i> и <i>CC'</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения <i>A'B'</i> и <i>CC'</i>, а <i>Q</i> – точка пересечения <i>A'C'</i> и <i>BB'</i>.
Докажите, что ∠<i>PAC</i> = ∠<i>QAB</i>.
Дана трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD = a</i> и <i>BC = b</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> лежат на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно, причём отрезок <i>MN</i> параллелен основаниям трапеции. Диагональ <i>AC</i> пересекает этот отрезок в точке <i>O</i>. Найдите <i>MN</i>, если известно, что площади треугольников <i>AMO</i> и <i>CNO</i> равны.
Дан треугольник<i> ABC </i>и точка<i> P </i>внутри него.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>– проекции<i> P </i>на прямые<i> BC </i>,<i> CA </i>,<i> AB </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'B'C' </i>, лежит внутри треугольника<i> ABC </i>.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> равны, <i>M</i> – середина стороны <i>AD</i>. Известно, что ∠<i>BMC</i> = 90°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника <i>ABCD</i>.
В треугольник <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> вписана окружность, касающаяся сторон <i>AC, BC</i> и <i>AB</i> в точках <i>M, K</i> и <i>N</i> соответственно. Через точку <i>K</i> провели прямую, перпендикулярную отрезку <i>MN</i>. Она пересекла катет <i>AC</i> в точке <i>X</i>. Докажите, что <i>CK = AX</i>.
Точка<i> O </i>лежит внутри ромба<i> ABCD </i>. Угол<i> DAB </i>равен110<i><sup>o</sup> </i>. Углы<i> AOD </i>и<i> BOC </i>равны80<i><sup>o</sup> </i>и100<i><sup>o</sup> </i>соответственно. Чему может быть равен угол<i> AOB </i>?
В ромбе <i>ABCD</i> величина угла <i>B</i> равна 40°, <i>E</i> – середина <i>BC, F</i> – основание перпендикуляра, опущенного из <i>A</i> на <i>DE</i>. Найдите величину угла <i>DFC</i>.
В параллелограмме <i>ABCD</i> точка <i>E</i> – середина <i>AD</i>. Точка <i>F</i> – основание перпендикуляра, опущенного из <i>B</i> на прямую <i>CE</i>.
Докажите, что треугольник <i>ABF</i> – равнобедренный.
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM=BC$. Из точек $M$ и $B$ на сторону $AC$ опустили перпендикуляры $MK$ и $BH$ (см. рис.). $AC$ вдвое больше $KH$. Угол $A$ равен $22$ градусам. Найдите угол $C$.<img src="/storage/problem-media/67391/problem_67391_img_2.png">
На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $K$. Отрезки $CM$ и $AK$ пересекаются в точке $E$. Оказалось, что $\angle MEA = \angle ABC$. Докажите, что середины всевозможных отрезков $MK$ лежат на одной прямой.
В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую.
Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?
В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=BC=CD$, $\angle A = 70^\circ$ и $\angle B = 100^\circ$. Чему могут быть равны углы $C$ и $D$?
Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.