Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: угол AOB внутри ромба

Заметим, что геометрическое место точек O , из которых отрезок AD виден под углом80^o , и лежащих по ту же сторону от AD , что и точка B , – это дуга окружности, проходящей через точки A и D , а геометрическое место точек O , из которых отрезок BC виден под углом100^o , и лежащих по ту же сторону от BC , что и точка A , – это дуга окружности, проходящей через точки B и C . Искомая точка O должна лежать на пересечении этих двух дуг. Следовательно, таких точек может быть не более двух.

Укажем две точки, удовлетворяющие условию задачи. Первая точка O1лежит на диагонали AC , причём BO1C = 100^o . Тогда

Аналогично, вторая точка O2лежит на диагонали BD , причём BO2C = 100^o . В этом случае AO2D = 80^o и AO2B = 100^o .

Осталось заметить, что точки O1и O2различны (они лежат на разных диагоналях ромба и отличны от точки пересечения диагоналей) и обе лежат внутри ромба.

80^o или100^o .