Олимпиадная задача по планиметрии: уникальное свойство треугольника ABC (9-11 класс)
Задача
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K соответственно так, что SKMC + SKAC = SABC.
Докажите, что все такие прямые MK проходят через одну точку.
Решение
Заметим, что из равенства SKMC + SKAC = SABC следует, что SKMC = SABK, откуда BK : CK = hM : hA, где hA и hM – перпендикуляры, опущенные на прямую BC из точек A и соответственно (см. рис.). Кроме того, из подобия следует, что BM : BA = hM : hA. Пусть K' – точка, симметричная K относительно середины стороны BC. Тогда BM : BA = BK : CK = BK : BK', что означает параллельность прямых MK и AK'. Следовательно, эти прямые симметричны относительно середины стороны BC, то есть прямая MK проходит через точку A', симметричную A относительно середины стороны BC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь